DSC20

1. Rozwiązać równanie z³ +■ 2z + 4 = 0. Zaznaczyć pierwiastki na płaszczyźnie zespolonej i przedstawić je w postaci trygonometrycznej.

2. Znaleźć punkt przecięcia się prostej przechodzącej przez punkty (3,0,2) oraz '£ -2,4) z płaszczyzną przechodzącą przez punkt (2.3.4) i prostopadłą do wektora (1, —3.2).

3. Znaleźć bazę przestrzeni liniowej V = {(z, f, z, ł) € •*; 3® — y + 2z — t = 0} i uzasadnić, że jest to baza. Jaki jest wymiar tej przestrzeni?

4. Odwzorowanie liniowe / : R^ł —» R² jest dane w bazie = (2.5) . e₂ = (—1, -2) poprzez macierz

j4 =

1 3

1 2

Znaleźć macierz odwzorowania / w bazie ej = (2.1) , ej = (1,3).

5. Podać odwzorowanie linowe R³ w siebie o wartościach własnych 1 . 6 oraz wektorach własnych im odpowiadających (3, —2) oraz (1,1). Podać macierz tego odwzorowania: (a) w bazie kanonicznej, (b) w bazie wektorów własnych.

6. Sprowadzić formę dwuliniową 4{x, y, z) = 3ar + y³ + z³ — -kry — 2xz + 2yz do pcstad kanonicznej i i podać bazę odpowiadającą tej postaci. Czy (jak) forma jest określona?

7.    Udowodnić, że odwzorowanie liniowe / jest różnowartościowe <==> Ker(/) = 0.

8.    Pokazać, że układ wektorów jest bazą <=> każdy wektor ma jednoznaczny rozkład.

■■