DSC07372

i AO

Krzywe stożkowe

d) Skoro okrąg przechodzi przez punkty A = (x_A,y_A), B = {x_a,y_B), to jego środek należy do symetrnlnej odcinka AB.

Do wyznaczenia równania symctralnej potrzebne nam będą współrzędne środka S = fes-Jfe) odcinka AB oraz współczynnik kierunkowy m_AB prostej przechodzącej przez punkty .4. B. Mamy

_ _    +*b _ 1 + (-1) __n

*2 2

= 6

_ V_x +    _ 5+7

2 7-5

' 2

Vb -VA

»•

= -1.

— x„-x_A -1-1 Współczynnik kierunkowy m symctralnej odcinka AB jest równy

1

-1

l

= 1.

Teraz możemy napisać równanie symctralnej. Mamy

y-y« = m(x — z,),

stąd

p = * + 6.

Ponieważ środek Q okręgu należy do symctralnej odcinka AB oraz prostej * + y = 0, więc jego współrzędne są rozwiązaniem układu równań

1

p = x + 6,

_ x + y = 0.

Rozwiązanie to ma postać * = -3. y = 3. Zatem Środkiem okręgu jest CJ = (-3,3). Potrzebny jest nam jeszcze promień okręgu- Marny

KMI |    +    ” V^f ’ + <•-«'-1

Przykłady

163

e) Niech P = (z, v) będzie punktem spełniającym

warunek

|P/V| = 2 • |PB|.

Wtedy

sj(x - l)^ł + (y~ I>" = W(^x ~ *)* + (v~ ⁴)^a-Stąd po prostych przekształceniach otrzymamy z* - lOz + y^a - lOy +42 = 0, i następnie

(* — 5)* + (y — 5)^a = 8.

Jest to równanie okręgu o środku S = (5,5) i promieniu r = 2-J2.

• Przykład 6.2

a)    Znaleźć równanie stycznej okręgu x² — 2x+p²+10y — 0 w punkcie P = (2,0);

b)    Wyznaczyć równania stycznych okręgu (x+ l)²+y² = 1 wychodzących z punktu

■P = (Ó,2);

c)    Okrąg przechodzi przez punkt A = (—8,9) i jest styczny do osi układu współrzędnych. Znaleźć współrzędne środka i promień tego okręgu;

d)    Na okręgu X² + jyr = 2 znaleźć punkt, który jest położony najbliżej (najdalej) od prostej jy — x + 5;

e)    Znaleźć równania stycznych okręgu x² - 2x+y² + 8y = 0, które są prostopadle do prostąj x + 2//, = 0;

f)    Znaleźć równanie okręgu, który przechodzi przez początek układu współrzędnych i jest styczny do prostych y — x — l, y = x + 3.

Rozwiązanie

a) Równanie stycznej do okręgu o środku (xo,yo) i promieniu r w punkcie (zi.jft) tego okręgu ma postać

(zi - za) (z - zo) + (rn -yo)(y-yo) = r¹.

Ponieważ    _    .

i¹ - 2z + y³ + lOy = (z - l)² + (| + 5)^J - 26 = 0,

więc rozważany okrąg ma środek (xo,yo) = (1, —5) oraz promień r = \/26. Zatem równanie stycznej do tego okręgu ma pcetać

(2 -l)(x - 1) + (0+S)(y + 5) = 26,

stąd

x + Sy —2 = 0.