Dziawgo; Granice funkcji Ciągłość funkcji jednej zmiennej 4

120 Granica funkcji. Ciągłość funkcji jednej zmiennej

lim(tgx)^Slg2x = lim

K    t—^0

X > ■

- 10(l+t) t+2

= e

10

Zadanie 9.

1 - «J\ + tgx

Obliczyć granicę lim-

x->0

tgx

Rozwiązanie:

1 - y/lT-tgX lim

►o tgx

= lim

1 - 1 - tgx

= lim

tgx

1 + tgx + 1) tgx ^x—(^/l + tgx + 1) tgx

= lim

^x->0 (1 + ^/1 + tgx) 2

Zadanie 10.

e^5x-l

Obliczyć granicę lilii-.

*->o 6x

Rozwiązanie:

Zastosujemy podstawienie:

t = e^5x - 1, stąd e^{5 x} = t+1 <=> 5x = ln(t+l)<=> x = 0,2 ln(t+l).

e^5x -1

lim .

x->o 6x

= lim

t

- lim

5    1

= —lim-

i->o 1,2 ln(t +1) t->o I ln(t +1)    6 t->o

ln(t + l)‘

Zadanie 11.

Obliczyć granicę lim

x³ -8

x->2l_3^x"²

Rozwiązanie:

I sposób:

Zastosujemy podstawienie:

1-3

x - 2

I , stąd ll    ’ <>x 2 log₃(l-t) O x 2 l log₃ (I I).

Inn

(x-2)(x² +2x + 4)

1-3

x-2

-i- i

= 12 lim    —— = 121im-log₃(l-1) =

t-»o t    t-»o t

12 lirnlog,

t—>o

¹¹ | u >sób:

0-4

= 121og₃e ¹ =-121og₃e

x³ - 8 (x — 2)(x² + 2x + 4) - lim-

.•1-3

x-2

x~>2

lim(x²+2x + 4) • lim    ₂

K >2    "

udzie

.2

(x —2)    -12

i““-(3^x"²-l) “ ln 3

lim(x“ + 2x + 4) = 12

H >2

lim-

(x~2)

>x-2

lim-

1

-1

>2 -(3    -1)    x->2 3    -1 ln3

x - 2

Stosujemy podstawienie'. x - 2 = t

r    -^1    1

t->o s - 1    lns

t

gdzie lim--= lns.

l->0    {

And a nie 12.

..    ,    .    . 6xsin5xcos2x

' •lilinzyc granicę funkcii lim-----.

x->o _tg⁴4xctg²3x

Rozwiązanie:

W . korzystając wartości granic:

lgx    sinx

Inn — = 1 i lim-= 1 mamy:

• .M X    ^x x

(>x sin5xcos2x sin5x tg²3x (4xY

Inn --z- = lim

•" (gMxctg^z3x ^x^° 5x (3x)² tg⁴4x

•cos2x

270x⁴    270

256x⁴    256

Zadanie 13.

W vKazać, że funkcja: f(x)

I

cos

X

X l ON

X

dla x > 0 dla x 0

nu ma giniiiey pinwimlnmni | l ma jłianicę lowoslionn;| w zri/r