img015 2

38 L Estymacja przedziałowa parametrów

1.33. W celu oszacowania stanu struktury procentowej gatunków karpia w stawie pewnego gospodarstwa rybackiego, odłowiono 160 sztuk karpia (niezależnie) i otrzymano następujące dane o ilości ryb poszczególnych gatunków-;

Gatunek karpia	Liczba ryb
1	95
11	42
nr	23 ! I

Oszacować metodą przedziałową procenty- poszczególnych gatunków hodowanego karpia w stawie tego gospodarstwa. Przyjąć współczynniki ufności 0,95.

1.34. W celu oszacowania struktury procentowej rodzaju kontraktacji •w indywidualnych gospodarstwach rolnych pewnego powiatu, wylosowano niezależnie 360 gospodarstw rolnych spośród tych, które prowadza kontraktację. Otrzymano następujące dane:

Rodzaj kontraktacji	Liczba gospodarstw
zboża i ziemniaki	21
buraki i rośliny przemysłowe	123
bydło	50
trzoda clilewna	166

Zbudować przedziały- ufności zc współczynnikami 0,95 dla poszczególnych j wskaźników' struktury gospodarstw prowadzących kontraktację w tymj powiecie.

_2, § 1.3. przedział ufności dia wariancji

Podstawowe wyjaśnieni*

W badaniach statystycznych ze względu na cechę mierzalną do naj< ściej szacowanych parametrów populacji obok średniej należy wariancja crj (lub odchylenie standardowe o) badanej cechy. Gdy populacja generaln^ ma rozkład normalny (lub zbliżony do normalnego), wtedy można ztn

dować przedział ufności dla wariancji c~ populacji. Budowę przedziału ufności dla wariancji opiera się jak zwykłe na rozkładzie statystyki, będącej jej estymatorem. Najczęściej używanymi estymatorami wariancji o² populacji generalnej są statystyki określone wzorami

(1.7)    s²=i i (*,-*)’ oraz l²=— £ (x, - if .

n i-i    n-1

Wprawdzie estymator s² jest nieobciążonym estymatorem, wariancji a², podczas gdy s'^J jest obciążonym estymatorem wariancji cr², ale oba te estymatory są równoważne, gdy chodzi o przedział ufności dla wariancji, gdyż

i-1

Natomiast zarówno s jak i s są obciążonymi estymatorami odchylenia standardowego er.

W zależności od tego czy próba jest mała czy duża. przedział ufności dla wariancji budujemy odpowiednio w oparciu bądź o dokładny rozkład statystyki s² (tzn. rozkład *²), bądź leź o jej rozkład graniczny (rozkład normalny). Obliczając kwadratowy pierwiastek arytmetyczny z otrzymanych końców przedziału ufności dla wariancji o\ otrzymujemy przedział ufności dla odchylenia standardowego a. W dużej próbie można też od razu podać przedział ufności dla odchylenia standardowego o, korzystając z faktu, że s ma rozkład asymptotyczny N(o, ci\^!2n). Tak więc w zależności od wielkości próby, rozróżnimy dwa modele budowy przedziału ufności dla odchylenia standardowego tr.

Model I. Populacja generalna ma rozkład normalny N(m, <r) o nieznanych parametrach m i a. Z populacji tej wylosowano niezależnie do próby n elementów (n jest małe, tj. «<30). Z próby obliczono s² lub s². Wówczas przedział ufności dla wariancji o² populacji generalnej określony jest wzorem

(1.8)

(ns²    *s²]

P ■ —<a < — > = l-a U*    *1)