koĹ'o zesz

KOLOKWIUM z RACH. PRAWD. 2009aro»U

Zadanie 1

W pierwszej urnie są 3 kule białe i 6 czarnych, a w drugiej urnie są 4 białe i 16 czarnych. Rzucamy symetryczną kostką. Losujemy dwukrotnie z urn w ten sposób, że jeżeli wypadną 4 lub mniej oczek, to losujemy kulę z urny pierwszej; w przeciwnym razie losujemy z urny drugiej. Kule wylosowane nie są zwracane do urn i rzucamy kostką przed każdym ciągnięciem, aby ustalić urnę.

Jakie jest prawdopodobieństwo, że w pierwszym losowaniu wyciągnięto kulę białą, jeżeli w drugim losowaniu wylosowano kulę czarną?

Uwaga: Wystarczy rozpisać P(By ,C₂) =    Proszę nie tracić czasu

na rachunki doprowadzające do wyniku liczbowego.

Zadanie 2

Zdefiniować dystrybuantę zmiennej losowej i udowodnić jej podstawowe własności.

Zadanie 3

Wybrano losowo (i niezależnie od siebie) dwie liczby rzeczywiste b, c z odcinka [0,2]. Jakie jest prawdopodobieństwo, że trójmian kwadratowy z² + bx + c ma dwa różne pierwiastki urojone?

Zadanie 4

Zdefiniować kowariancję zmiennych losowych X, Y, współczynnik korelacji qx.y i udowodnić, że |<?.v.y| < 1-

Zadanie 5

Dystrybuanta zmiennej losowej X podana jest formułą

f0.4x³ 0.5 + 0.1x 1

Fx(x) =

dla    0    <    x <    1,

dla    1    <    x <    3,

dla    3    <    x.

Narysuj dystrybuantę. Oblicz wartość oczekiwaną E(X). Czy zmienna losowa X jest absolutnie ciągła? Jeżeli tak, to znajdź jej gęstość.

Zadanie 6

Niech zmienna losowa X ma dystrybuantę F*(i) = f³ dla 0 < t < 1. Znajdź (i narysuj) dystrybuantę zmiennej losowej X = max{|..Y}.

I