koło1CD

Nazwisko . inne..................................... nr incaksu.............................

Pierwsze kolokwium z rachunku prawdopodobieństwa

nr inćek»v

Matematyka - awrwtr IV 2012/2013

Grupa D

Zadani)' 1

Sformułuj 1 udowodnij własności miary probabilistycznej (dowód tylko dla sumy •-zdarzeń¹.

Zadani)' 2

Sformułuj ciągłość od gó.-y oraz od dołu

Zadanle 3

Niech (fi. T, P) będzie pr.catrzcnią probabilistyczną. .4 B € F spełnia'ą P(A) — |,P(0) l Pokaż, żc Ji<riAnB)śl

Zadanie 4

(a)    W w ’>onumerowany -h uniach umlcTzczono w sposób losowy n ponumerowanych

kul. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że w pierwszej umie jcit n. kul, w dmgiąj na kul, .... w m-tej urr^;e n„ kul, gdzie + nj + • •• + n_m « n i nj > 0.

(b)    W m ponumerowani di urnach umii-aczono w sposób losowy »Jednskowych

kul. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że w pierwszej umie jew ni kul,

w drugiej n; kul.....w m-tej urr o n„ kul, gdzio nj + n₃ + —-n„, - n

I ⁿj > 0. Obliczyć prawdopodobieństwo, że w jakiejś umie jest ni kul, w ir.nęj na, ... , 1 .eazcze w jaki*. 4 jeet n_m kul, fdslt tym reżim liczby ni_tn₃.....n„, są porami różne.

Zadanie 5

NiochO-{-1,0.1},{{0.1}.{-1},«.{-!.0.1}}. /'({>}) Jd!aj-0.1 oraz /*({—!» - J . N.ech X[J) =» l - w^a . Czy X jest zmienna losowa? Załóżmy. zmodyfikujemy P tak, aby />({>}) m j dla «» -1.0,1 . Czy teraz sytuacja poprawi się i X jest zmienną losową? Czy modyfikując /‘do o-ciała maksymalnego, otrzymany, że X : (0 2ⁿ. PJ -» R jest zmienną losową?

Powodzenia !!!

Pierwsze kololcwium z rachunku prawdopodobieństwa

ar inceksu..

Nazwisko i i

Matematyka - semestr IV 2012/2013

Grupa C

Zadanie 1

Sformułuj temat Borels Cantelliego i tdowodnij część, dla ktdrej szereg j«t zbieżny.

Zadani'* 2

Zdefiniuj ^rzeatrzeń protablltolycznę oraz zmienna lotowę.

Zadanie 3

Igłę o dhlfofcl I rzucono na podłogę z desek o szerokości a (I < «). Jąka jest szansa, ie igła przetnie krawędź dcaki?

Zadanie 4

W umioJiM t loeów pus.ych 1 n o wartości lOOOzł. Do urny podchodzę kolejno uczestnicy loterii l clęgr.ę jeden los. Jakie jest prawdopodobieństwo, żc j-ty uczestnik wycięgnie los i^usty (1 < j ś V + n)?

Zadanie 5

Pokazać, ie jeżeli zdarzi.il a A i D sę niezależne oraz A u U «* n. to /*(z4) — 1 lub l\U) - 1.

Powodzenia !!!

i