lastscan79

Stwierdzamy zatem, że:

•    wzrost (spadek) stopy procentowej przy nie zmienionej liczbie rat powoduj zmniejszenie (wzrost) wysokości raty w rencie równoważnej;

•    zmniejszenie (wzrost) liczby rat przy ustalonej stopie procentowej pociął za sobą w-zrost (spadek) wysokości raty w rencie równoważnej.

W kontekście loterii z przykładu 5.8, gdyby efektywna stopa procentów była większa niż 3,46% i wynosiła 5%, to główna wygrana 100 tys. zł byłal» równoważna 10 ratom w kwocie 12950,46 zł każda. Wartość początkowa zaś I rat po 12 tys. zł wyniosłaby zaledwie 92660. 82 zł. Natomiast gdyby wygna 100 tys. zł była wypłacana w 7 stałych, rocznych ratach, to - przy zalożej równoważności wariantów wypłaty i efektywnej stopie i - 3,46% - każda rn| wynosiłaby 16330,06 zł.

5.4. Renta o zmiennych ratach

Spośród rent o zmiennych ratach skoncentrujemy się na trzech typach reijt, cechujących się regularnym charakterem zmienności rat. Będą to renty:

•    o ratach seriami stałych,    I

•    o ratach tworzących ciąg arytmetyczny.

•    o ratach tworzących ciąg geometryczny.

Wycenę takich rent wygodnie jest przeprowadzać za pomocą równoważnych rent o stałych ratach.

5.4.1. Renty o ratach seriami stałych

i

Przykład 5.9

Renta składa się z 12 miesięcznych rat. Wysokość każdej z pierwszych pięci rat wynosi 100 zł. każdej z kolejnych czterech 200 zł, każdej z pozostałych tr/cc 150 zł. Obliczmy wartość końcową renty w przypadku, gdy stopa nominał wynosi 12%, a odsetki kapitalizowane są co miesiąc.

Wyróżnijmy w powyższej rencie trzy serie (rys. 5.3); nazwijmy je A, B i C i zauważmy, że każda z nich jest rentą o ratach stałych. Seria A składa się z 5 rat

100 zł. seria R / czterech rat po 200 zł, seria C - z trzech rat po 150 A wSk wartość końcowa poszczególnych rent (serii) zaktualizowana na moment I .i wynosi

a serii A: 100(1 +0.01 )⁷s^_l% = 546,90, illa serii B: 200(1 +0.01)³.**,* = 836.68. la serii C: 150j^,<* = 454,52.

‘ końcowa rozpatrywanej renty jest sumą powyższych trzech kwot i wynosi KI zł.

jjmijmy następujące oznaczenia:

- liczba serii rat,

i, - moment pierwszej płatności w serii /, / = 1,2.....L,

n, - liczba rat w /-tej serii, / = 1,2.....L,

R, - wysokość raty w serii /, / - 1.2.....L.

Punktem wyjścia wyceny renty o ratach seriami stałych jest jej dekom-cja na renty o stałych ratach, które bez trudu możemy wycenić za pomocą niej poznanych wzorów. Każdą serię potraktujemy jako oddzielną rentę, ażmy /-tą serię. Jeśli /, = 1. to jest to renta prosta płatna z dołu. Jeśli miast i, > I. to jest to renta odroczona o — 1 okresów. Zgodnie z wzorem 16) wartość początkową renty stanowiącej /-tą serię możemy zapisać jako W wyniku zsumowania wartości początkowych wszystkich ^ki otrzymujemy wartość początkową renty. W podobny sposób możemy ^zyć wartość końcową. Dla /-tej serii wynosi ona (I ie n oznacza moment końcowy renty. Zatem otrzymujemy

L

(5.21)

(5.22)

l

t- I

F= (l+/r Z (1

i-

Przykład 5.10

Wnikliwy Czytelnik zauważy, że rozpatrywaną w poprzednim przykładzie ren tę można zdekomponować na kilka innych sposobów. Jednym z nich jest podział na renty o: 12 ratach po 100 zł, 7 ratach po 100 zł , 3 ratach po —50 zł (por. rys. 5.4a). a jeszcze innym - na renty o: 12 ratach po 150 zł, 9 ratach po 50 zł.

P 5 ratach po — 100 zł (por. rys. 5.4b). W odróżnieniu od początkowej dekompozycji układowe renty powyższych dwóch podziałów mają wspólny moment końcowy lub początkowy. W konsekwencji okresy, na jakie rozciągają się poszczególne renty.

J przynajmniej częściowo zachodzą na siebie.

167