lastscan82 2

5.4.3. Renty o ratach tworzących ciąg geometryczny

Dla rat. które stanowią ciąg geometryczny, oznaczymy jako q iloraz ciąg przyjmując, żc q > 0, a jako R_x wartość pierwszej raty. Zatem

(5.2

dla j * 2.....n. Podobnie jak dla rat tworzących ciąg arytmetyczny, renta o ratac

danych wzorem (5.27) może być zdekomponowana na renty o ratach stałyc i o wspólnym momencie końcowym. Jednakże wycenę renty prościej je: przeprowadzić wprost z zależności (5.1). (5.2) i (5.27). Dla yvartości początkowe otrzymujemy

dla wartości końcowej zaś Przyjmując oznaczenie

l+i .

P = —--I.

możemy wyrazić równania wyceny renty za pomocą czynników a^_p i .ę^.

(5.28)

(5.29)

F_k = R_x(f-^X5^„.

Przykład 5.13

W umowie o najem mieszkania przyjęto, że opłata za pierwszy miesiąc wynosi 500 zł, a każda następna będzie indeksowana na bieżąco wskaźnikiem wzrostu cen. W badanym półroczu wskaźnik ten w skali miesiąca utrzymywał się na stałym poziomie 1.008. Opłaty uiszczane są na koniec każdego miesiąca na rachunku właściciela kamienicy. Jeśli miesięczna stopa procentowa wynosiła 0,5%, jaką kwotę zgromadzono na rachunku?

Na rachunek właściciela kamienicy wpływały płatności tworzące ciąg geometryczny o ilorazie q = 1,008. Zgodnie z wzorem (5.29) obliczamy

F_k - 500(1 + 0.008)⁵sgi_r, gdzie p = 1.005/1.008-1 = -0.003. otrzymując F_t ■ 3098,80 zł.

5.5. Renta uogólniona

Renta uogólniona - przypomnijmy - to ciąg płatności, dla którego okres bo/owy nie pokrywa się z okresem kapitalizacji odsetek. Nietrudno zauważyć, że IBnta uogólniona jest bardzo szerokim pojęciem i obejmuje wiele różnych, czasem btird/o złożonych, przypadków. W szczególności dopuszcza ona zróżnicowane co pb długości okresy kapitalizacji oraz zróżnicowane zasady naliczania odsetek 1/ podokresach. W naszych rozważaniach skoncentrujemy się na najważniejszych dla praktyki przypadkach renty uogólnionej, w których wycenę można przeprowadzić za pomocą odpowiedniej renty prostej. Utrzymujemy w mocy założenie ienności długości okresu kapitalizacji oraz stopy procentowej w całym trwania renty. Ponadto zakładamy, że odsetki za podokresy naliczane są 'nie z zasadą oprocentowania składanego przy zastosowaniu stopy równoważnej, ktujemy tym samym zasadę równoważności kapitałów przedstawioną w rozpalę 4. Konsekwencje uchylenia tego założenia ilustrujemy pod koniec rozdziału. Rozpatrzymy dwa podstawowe typy renty uogólnionej:

Typ I - każdy okres bazowy składa się ze skończonej całkowitej liczby SÓw kapitalizacji, przy czym początek okresu bazowego pokrywa się z począłem jednego z okresów kapitalizacji.

Typ U - każdy okres kapitalizacji składa się ze skończonej całkowitej liczby sów bazowych, przy czym początek okresu kapitalizacji pokrywa się z począt-iem jednego z okresów bazowych.

Bez względu na typ renty uogólnionej jej wycenę przeprowadzić można przez ianę na równoważną rentę prostą.

Przykład 5.14

Rozpatrzmy ciąg 16 kwartalnych wpłat w kwocie 100 zł na rachunek kowy oprocentowany według nominalnej stopy 12% przy kapitalizacji odsetek

a)    co kwartał,

b)    co miesiąc,

c)    co rok.

W przypadku (a) mamy do czynienia z rentą prostą, w pozostałych dwóch -/ rentą uogólnioną. Kwartalny okres bazowy i miesięczna kapitalizacja odsetek (b) dają rentę uogólnioną typu I. natomiast przy rocznej kapitalizacji (c) mamy tę uogólnioną typu II. Bez trudu możemy zamienić rentę z przypadku (b) na noważną rentę prostą. W tym celu wystarczy bowiem przyjąć, że okresem owym jest kwartał, a stopą procentową - stopa kwartalna równoważna ięcznej kapitalizacji, czyli i = (I +0.01)³— 1 = 3,03% (por. rys. 5.6). Przejdźmy do przypadku (c). Wpłaty na rachunek następują rzadziej niż italizacja odsetek, ale przypomnijmy, iż założyliśmy stosowanie zasady :ntowunia składanego w odniesieniu do podokresów. czyli w tym przypadku wartałów. Stopą kwartalną przy kapitalizacji kwartalnej równoważną rocznej ie 12% jest (I fO.I2)^,/4— 1, czyli 2,874%. Rozważana renta jest zatem