liczby Z5

22

2. Liczby zespolone

Dowód. Łatwo zauważyć. » *. M, — * - W) — <“>■ «*«• <“> i (2.9) kolejno mamy

^ = (a, b) - (a, 0) + (0,fi) = («■ °) + C^b’^0)(0,1) = a + bj. □

: = a + jb - postać kanoniczna liczby z = (a, b)

Działania na liczbach w postaci kanonicznej

Postać , - . ₊ « W,

w postaci kanonicznej określone są odpowiednio wzo-

(2.12)

(2.13)

(2-14)

(2.15)

z + w    =    (a + bj)    + (c + dj) = (a + c)    +    (6    +    d)j;

z — w    =    (a + bj)    — (c + $) = (a — c)    +    (6    —    rf)j;

zw = (a + bj)(c + dj) = (ac - bd) + (ad + bc)j; 2    _    a + bj _ ac+bd bc — ad    .

te    c + dj    c² + <f^{2 +} c² + d²

Przykład 17. Obliczyć z + w, z - w i zw, gdy z = 1 + 5j \ w = 3 + 2j

Łatwo zauważyć, że

2 + w = (1 + 5j) + (3 + 2j) = (1 + 3) + (5j + 2j) = 4 + 7j, z - w = (1 + 5j) - (3 + 2j) = (1 - 3) + (5j - 2j) = -2 + 3j.

Przy wyznaczaniu iloczynu liczb zespolonych w postaci kanonicznej nie trzeba pamiętać wzoru (2.14). Wystarczy skorzystać z rozdzielności mnożenia względem dodawania, zastąpić j² przez -1 i zgrupować “podobne’* czynniki. Dlatego dla liczb z = 1 -f 5j i w = 3 + 2j mamy

zw = (l + 5j)(3 + 2j) = l(3 + 2i) + 5i(3 + 2i)

= 3 + 2j + 15j + 10j² = 3 + 17j - 10 = -7 + 17j.

Interpretacja geometryczna liczby zespolonej

Każdą liczbę zespoloną z = a + jb można utożsamiać z punktem (a,6), którego współrzędne są odpowiednio równe części rzeczywistej i części urojonej liczby z = a+jb (zob. rys. 2.1). Płaszczyznę, w której każdy punkt utożsamiamy z liczbą zespoloną, nazywamy płaszczyzną zespoloną lub płaszczyzną Gaussa (albo płaszczyzną Arganda). W tym przypadku oś odciętych i oś rzędnych nazywamy odpowiednio osią rzeczywistych i osią urojonych. Liczbę zespoloną z = a + jb można również utożsamiać z wektorem wodzącym punktu (a, 6), tj. z wektorem

Oz, gdzie O jest początkiem układu. W tej interpretacji suma liczb zespolonych 2^ w jest czwartym wierzchołkiem równolegloboku zbudowanego na wektorach

Oz i Ou\ zob. rys. 2.2. Natomiast różnica z — w jest czwartym wierzchołkiem

równolegloboku zbudowanego na wektorach Oz i 0(— w)\ różnicę z — w można także utożsamiać z wektorem wz (zob. rys. 2.3).

Rys. 2.1

Rys. 2.2

Rys. 2.3