liczby Z
3

Pierwiastki z jedności

2krc . . 2/ctr e_k = cos--h J sin

(2.29)

n

n

dla k = 0, 1, .... n-1. □

Warto zauważyć, że jeśli £ =    , to (ponieważ £^fc - ej = dla k -

q i n-1) liczby 1, e, e², ... ,£^n-1 są wszystkimi pierwiastkami n-tego stop-

nia z jedności i - jak to już wcześniej powiedzieliśmy - liczby te są wierzchołkami n-kąta foremnego wpisanego w okrąg o środku w początku układu wspo rzędnych i promieniu długości jeden, zob. rys. 2.14 dla n - 3, rys. 2-15 dla n -i rys. 2.16 dla n = 6. Łatwo także zauważyć następującą własnosc pierwiastków n-tego stopnia z jedności, własność która może być przydatna przy wyznaczaniu pierwiastków n-tego stopnia z innych liczb zespolonych.

Wniosek 2.4.2. Jeśli w jest jakimkolwiek pierwiastkiem n-tego stopnia z liczby z ± 0 i £ = cos ^ + j sin to liczby

w, we, we², ..., weⁿ~¹    (2.30)

są wszystkimi pierwiastkami n-tego stopnia z liczby z. CU

Przykład 30. Wyznaczyć pierwiastki stopnia trzeciego z liczby (1 + j)⁶.

Ponieważ w = (1 -f j)² = 2j jest pierwiastkiem stopnia trzeciego z liczby (1 -f j)⁶

i e = cos ^ +j sin — = — | -f j -^r jest pierwiastkiem stopnia trzeciego z jedności, więc wobec wniosku 2.4.2 także liczby

= =

są pierwiastkami stopnia trzeciego z liczby (1 + j)⁶.

Przykład 31. Znaleźć wszystkie rozwiązania równania

(2x + l)⁴ = (_x-2)\

dlaT#7n,r„,y rówuti^old ^Wi,Za''^{iem rÓWna}"^{ia <2X + 1)4} “^(I-²⁾⁴' ^Nat°"

(2* +1)* = (* - ₂₎« „ (|ii)'‘=! „    _{= £łW} x = 1+Sft

<* = 0,1,2,3)^P Stąd^^raTw^molna^{015 W}1 ^rleg° * ^jedn°^ŚCi’ ^{£fc = cos} ^ + i^sin

(2x+1*'¹. ^ _wtoly, _tylko    ^r?r