Matematyka 2 9
58 I. Geometria analityczna w przestrzeni
W szczególności, gdy x0 - y0 = 7.0 -• 0 otrzymujemy równanie
2 2 2 , x + y + z = r.
Jest to równanie sfery o środku S(0,0,0), symetrycznej względem wszystkich płaszczyzn, osi i początku układu współrzędnych Oxyz.
Każdy przekrój sfery płaszczyzną jest o k r ę g i e m (w szczególności punktem lub zbiorem pustym).
PRZYKŁAD 5.2. Znajdziemy środek i promień sfery o równaniu
x2 + y2 +• z2 - 2x + 4y - 4 • 0.
Równanie to równoważne jest kolejno równaniom: x2 -2x + y: +4y + z2 -4 = 0,
(x-l)2 - l+(y + 2)2-4ł-z2-4 = 0,
(x-1)2 +(y+2)2 +z2 = 9.
Dane równanie przedstawia sferę o środku S(1 ,-2,0) i promieniu r = 3 . ■ PRZYKŁAD 5.3. Pokażemy, że równanie z = 2 - yjlb -x2 -y:
jest równaniem ''dolnej" połowy sfery o równaniu x: + y: + (z- 2)2 = 16. Stosując przekształcenia równoważne otrzymujemy
z=2-/l6-x2 -y2 o z-2=*-ą/l6-x2 -y2 o
o f(z-2>2 *16-x2 - y2 az-2ś0)o
o [x2 + y2 +(z-2); =16 a zś2].
Równanie x2 + y‘ + (z-2)2 ■ 16 jest równaniem sfery o środku S(0,0,2) i promieniu r = 4. Zatem równanie z = 2-^16-x2 - y jest równaniem części tej sfery dla z ś 2, czyli równaniem "dolnej" połowy tej sfery. ■
ELIPSOIDA. Powierzchnię o równaniu
2 2 l
(5.5) + TT + “ 1 * gdzie a>0, b>0, c>0,
a^ b‘ c
nazywamy elipsoidą.
Łatwo sprawdzić, źe jest to powierzchnia symetryczna względem wszystkich płaszczyzn, osi i początku układu współrzędnych Oxyz. Powierzchnia ta przecina osie 0x, Oy, Oz odpowiednio w punktach I*a,0,0), (0,±b,0), (0,0,±c) zwanych wierzchołkami tej elipsoidy. Ks/tałt powierzchni badamy analizując przekroje płaszczyznami prostopadłymi do osi układu współrzędnych Oxyz. Przekrój płaszczyzną prostopadłą do osi Oz ma równania
iii . zl
a2 b2 z*» k.
k>
Jeśli 1—r>0, czyli |k|<c, to przekrój jest elipsą. "Największą" c‘
spośród tych elips otrzymujemy dla k = 0 i jest to elipsa o równaniach
której półosiami są a i b. Analogicznie otrzymujemy, że: przekrój płaszczyzną x = k, gdy lk|<a lub y = k, gdy 'k|< b jest elipsą. Elipsoidę o równaniu (5.5) przestawia rysunek 5.8.
Rys 5.8.
PARABOLOIDY. Powierzchnię o równaniu
(5.6) —=- + ■ z, gdzie a>0, b>0,
az b‘
nazywamy paraboloidą eliptyczną.
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Matematyka 2 9 48 I Geometria analitycznii w przestrzeni P Rys 4.7. Znajdujcrm współrzędne x, y, z
Matematyka 2 1 10 1 Geometrio analityczna u przestrzeni S = ja
Matematyka 2 5 14 I Geometria analityczna u przestrzeni Z definicji iloczynu mieszanego wynikają n
Matematyka 2 1 20 I Geometria analityczna n przestrzeni llwapa Równanie płaszczony TT w tym przykł
Matematyka 2 3 22 I Geometria analityczna u- przestrzeni czyli n: 3y-2z = 0. Usposób. Z warunków z
Matematyka 2 9 38 I Cituimeiria analityczna w przestrzeni Ponieważ wektory 13,9,6], [2,6,2J nie są
Matematyka 2 1 40 I Geometria analityczna w przestrzeni4. PROSTA 1 PŁASZCZYZNA. Wzajemne położenie
Matematyka 2 1 50 I Geometria analityczna m przestrzeni 11. Znaleźć rzut prostokątny prostej / na
Matematyka 2 3 62 I Geometria analityczna w przestrzeni STOŻEK ELIPTYCZNY. Powierzchnię o równaniu
Matematyka 2 5 64 1 Geometria analityczna u przestrzeni 2. Wyznaczyć zbiór punkt
matematyka 12 20101 122 Geometria analityczna w przestrzeni Iloczyn mieszany a) «= (-1,2,5), v = (
46805 matematyka 12 20101 122 Geometria analityczna w przestrzeni Iloczyn mieszany a) «= (-1,2,5),
matematyka 12 20101 122 Geometria analityczna w przestrzeni Iloczyn mieszany a) «= (-1,2,5), v = (
Matematyka 2 5 24 I Geometria analityczna »v przestrzeni n±n, o [A.B.C] 1 [2,-3,1), nln2 [A,B,C]_L
Matematyka 2 3 42 I Geometrio anality czna u przestrzeni Z warunków zadania mamy: :r
21998 Untitled Scanned 58 (2) GEOMETRIA ANALITYCZNA _ ______ ___
m Geometria analityczna w przestrzeni •) Posiewu pole trdjkęu tospiętego na wektorach a, 6 jest równ
więcej podobnych podstron