Matematyka 2 09

308 IV Rów naniu ruzninzkowe zwyczajne

Po zróżniczkowaniu i wstawieniu do pierw szego równania mamy y" — y* + 3e‘ = y'-y + 3c^t +4y + 12e\

czyli

(2)    y" -2y*-3y = 12c*.

Jest to równanie liniowe drugiego rzędu o białych współczynnikach niewiadomą funkcją y = y(l). Rozwiązaniem ogólnym równania jedn

rodnego y" - 2y* -3y = 0 jest y₀ = C,e" C₂e Metodą przewidywań⁴ łatwo znajdujemy rozwiązanie szczególne równania (2) y, = -3e' Zat rozwiązanie ogólne równania (2) ma postać

y = C,e ^,+C₃e“-3e‘.

Ponieważ x = y* - y - 3e', więc

x = -2C,c“' + 2CjC^Jl + 3e^l.

Rozwiązanie ogolne układu (I) ma postać

x = -2C,e ^, + 2C₃e^3t+3c\ y = C,e" +C%e^M-3e\ leR. gdzie C,. C> oznaczają dowolne stałe.

PRZYKŁAD 7 4. Rozwiążemy układ równan

(I)

dy _ y(y-1) dx z

S-«-'

przy warunkach początkowych y(0) = 2. z(0)=l .

Z drugiego równania wynika, że y = z' + I. a stąd y’ ^ /' podstaw temu do pierwszego równania otrzymujemy

<z' + l)z'

Po

(2)

z -

Jesl lo równanie rządu drugiego, w którym nic występuje w sposób wyraźny zmienna x. Równanie takie rozwiązujemy przez wprowudi pomocniczej niewiadomej. Niech

z' = u(z).

„ d z du dz du

/3-- - - - ---U

dz dx dz

Po wykonaniu lego podstawienia w równaniu (2) otrzymujemy równanie I rzędu o zmiennych rozdzielonych:

(3)

du_{u =} (u-t-l)u dz z

Rozwiązaniami równania (3) są funkcje u = u(z) postaci

u = C,z-I. C, eR . z*0; u = 0. z*0.

Następnie uwzględniając, żc z’(x)=u(z), otrzymujemy rozwiązania z = z(x) równania (2):

z = ~-(l + C_;e^c,x). C,*0,C₂€R,z*0; z = -xłC, CcR, zsO. Ponieważ y =- z' - 1, więc rozwiązaniami układu (I) są pary funkcji

(4)

Wówczas

y = 1 + C₂e^c,“. zI+C₂e^c,“).C,»0. C\ €R .

^ui

oraz

(5)    y = 0, z = -x + C,CeR.

przy czym x jest takie, ze z * 0.

Pozostaje jeszcze spośrod wszystkich tych rozwiązań wybrać to, które czyni zadość postawionym warunkom Łatwo sprawdzić, żc żadna para funkcji określona wzorami (5) warunków tych nie spełnia. Natomiast uwzględniając warunki początkowa w (4) otrzymujemy

y(0)= UC₂ =2, z(0) = ^-(!+C,)=l,

a stąd C,=2, C, = 1. Szukanym rozwiązaniem szczególnym układu równań (1) jest para funkcji:

y*l + e²\ z=4(i ^{+ c}*^A). ^xeR-    ■

Przedstawiona tu metoda eliminacji rozwiązywama układów równali polega na zastąpieniu układu równań jednym równaniem odpowiednio wyższego rzędu. Należy jednak zauważyć, że nic każdy układ normalny można sprowadzić do jednego rów'nama, o czym przekona nas następujący prosty przykład