380 V Element)' rachunku prawdopodobieństwu
pja=P(X=l,Y=l)=P{ołl:(X(tói).Y(cDi))=(U)}=P({io4,u)5})=2/5*0,4
Podobnie dla A = {(x,y)eR:: x<l,y£l}. na mocy definicji (7 5), obliczamy:
<m^)€A
Funkcję pr-stwa p(v) rozważanego WL (X,Y) można opisać tabelą (bez ostatniego wiersza i bez ostatniej kolumny) postaci (7.5)
0 |
1 |
P-J | |
0 |
0,2 |
0,2 |
0,4 |
1 |
0.2 |
0.4 |
0.6 |
Pi |
0,4 * |
0,6 |
i |
WEKTORY LOSOW E CIĄGLE. Mówimy, że WL (X.Y) jest (dwuwymiarowym) wektorem losowym ciągłym (WLC), gdy istnieje meujemna i całkowalna na całej płaszczyźnie 0xy funkcja f taka. żc dla każdego prostokąta D=|(x,y): x,<x<x:, y,<y<v:}
(7.6) P(x, <X<x2. y,<Y<y:)= JJf(x,y)dxdy= j( jf( x.y)dyjdx:
d »i y«
przy tym funkcję f nazywa się gęstością pr-stwa (GP) WL (X.Y), a jej wykres w układzie 0xyz - powierzchnią gęstości Z (7.6) wynika, źc (7.7) f|f(x.v)dxdy= j( [f(x,y)dyjdx = 1 (warunek unormowania) gdyż, zgodnie z (7.6), lewa strona (7.7) jest pr-stwem zdarzenia pewnego. Z (7.7) wynika, że objętość bryły ograniczone/ powierzchnią gęstości i płaszczyzną Oxy jest równa jedności
Dla x, = x, lewa strona (7.6) jest pr-stwem przyjęci przez WLC (X.Y) wartości ze zbioru punktów odcinka j(x,y): x=x|t y,<y<y2), prawa zaś strona jest równa /.ero. Zatem: pr-stwo przyjęcia przez WLC w artości ze zbioru punktów dowolnego odcinka (ogólniej: ze zbioru punktów będących wykresem funkcji y = g(\) lub x = h(y)y jest zawsze równe zero.
GP 1 WLC (X.Y) można interpretować jako gęstosć masy jednostkowej na
płaszczyźnie Osy.
PRZYKŁAD 7.2. GP f WLC (X,Y) jest postaci:
■ i 0 dla pozost.(xty),
udzie T jest trójkątem określonym nierównościami 0<y<x<V2 . Obliczymy pr-stwo:
>/2 x -Jl
P(X> l,Y > l)= J[|2xydy]dx= J(x3-x)dx=-j. ■
ROZKŁADY BRZEGOWE Rozkład pr-stwa WL (X,Y) wyznacza rozkłady pr-stwa ZL X i ZL Y. Wynika to z następujących dwóch twierdzeń.
TWIERDZENIE 7.1. Jeżeli (X.Y) jest WLS o punktach skokowych U^y,) i skokach p(J oraz
(7.X)
1 •
to współrzędne X i Y są jednowymiarowymi ZLS o funkcjach pr-stwa odpowiednio postaci:
(7.9) P(X=x,)=p, oraz P(Y = yJ) = p).
Dowód Ograniczymy się do ZL X. Prawdziwość pierwszej równości (7.9) siniku 7 następującego ciągu równości:
P(X = x,) = P(X = x, a Y przyjmie dowolną wartość)=
= P[X = x, a(Y = y, v Y = y2v*--vY = y,v—)1 =
= P[(X = x,.Y = y, )v(X = Xj.Y = y*)v—v(X = xItY = yj)v—] = = Pf(X = Xj.Y = y,)+P(X = x,,Y = y2)^*"ł-P(X = x,.Y - y;)+-••=
= Ep„=p. L
J
TWIERDZENIE 7.2. Jeżeli (X.Y) jest WLC o C.P f. to jego współrzędne X i Y są jednowymiarowymi ZLC o CiP odpowiednio postaci: