Matematyka 2 81

Matematyka 2 81



380 V Element)' rachunku prawdopodobieństwu

pja=P(X=l,Y=l)=P{ołl:(X(tói).Y(cDi))=(U)}=P({io4,u)5})=2/5*0,4

Podobnie dla A = {(x,y)eR:: x<l,y£l}. na mocy definicji (7 5), obliczamy:

P(X<l.Y>l)=P((X.Y)eA)= XP-i=Pl2+P22=0.2+(,.4=0.6.

<m^)€A

Funkcję pr-stwa p(v) rozważanego WL (X,Y) można opisać tabelą (bez ostatniego wiersza i bez ostatniej kolumny) postaci (7.5)

0

1

P-J

0

0,2

0,2

0,4

1

0.2

0.4

0.6

Pi

0,4

*

0,6

i

WEKTORY LOSOW E CIĄGLE. Mówimy, że WL (X.Y) jest (dwuwymiarowym) wektorem losowym ciągłym (WLC), gdy istnieje meujemna i całkowalna na całej płaszczyźnie 0xy funkcja f taka. żc dla każdego prostokąta D=|(x,y): x,<x<x:, y,<y<v:}

(7.6) P(x, <X<x2. y,<Y<y:)= JJf(x,y)dxdy= j( jf( x.y)dyjdx:

d    »i y«

przy tym funkcję f nazywa się gęstością pr-stwa (GP) WL (X.Y), a jej wykres w układzie 0xyz - powierzchnią gęstości Z (7.6) wynika, źc (7.7) f|f(x.v)dxdy= j( [f(x,y)dyjdx = 1 (warunek unormowania) gdyż, zgodnie z (7.6), lewa strona (7.7) jest pr-stwem zdarzenia pewnego. Z (7.7) wynika, że objętość bryły ograniczone/ powierzchnią gęstości i płaszczyzną Oxy jest równa jedności

Dla x, = x, lewa strona (7.6) jest pr-stwem przyjęci przez WLC (X.Y) wartości ze zbioru punktów odcinka j(x,y): x=x|t y,<y<y2), prawa zaś strona jest równa /.ero. Zatem: pr-stwo przyjęcia przez WLC w artości ze zbioru punktów dowolnego odcinka (ogólniej: ze zbioru punktów będących wykresem funkcji y = g(\) lub x = h(y)y jest zawsze równe zero.

GP 1 WLC (X.Y) można interpretować jako gęstosć masy jednostkowej na

płaszczyźnie Osy.

PRZYKŁAD 7.2. GP f WLC (X,Y) jest postaci:

f(xv)=l2xy dla (xy)eT

■ i 0 dla pozost.(xty),

udzie T jest trójkątem określonym nierównościami 0<y<x<V2 . Obliczymy pr-stwo:

>/2 x    -Jl

P(X> l,Y > l)= J[|2xydy]dx= J(x3-x)dx=-j.    

I I    I

ROZKŁADY BRZEGOWE Rozkład pr-stwa WL (X,Y) wyznacza rozkłady pr-stwa ZL X i ZL Y. Wynika to z następujących dwóch twierdzeń.

TWIERDZENIE 7.1. Jeżeli (X.Y) jest WLS o punktach skokowych U^y,) i skokach p(J oraz


(7.X)


P, = SPu'

1 •

to współrzędne X i Y są jednowymiarowymi ZLS o funkcjach pr-stwa odpowiednio postaci:

(7.9)    P(X=x,)=p, oraz P(Y = yJ) = p).

Dowód Ograniczymy się do ZL X. Prawdziwość pierwszej równości (7.9) siniku 7 następującego ciągu równości:

P(X = x,) = P(X = x, a Y przyjmie dowolną wartość)=

= P[X = x, a(Y = y, v Y = y2v*--vY = y,v—)1 =

= P[(X = x,.Y = y, )v(X = Xj.Y = y*)v—v(X = xItY = yj)v—] = = Pf(X = Xj.Y = y,)+P(X = x,,Y = y2)^*"ł-P(X = x,.Y - y;)+-••=

= Ep„=p.    L

J

TWIERDZENIE 7.2. Jeżeli (X.Y) jest WLC o C.P f. to jego współrzędne X i Y są jednowymiarowymi ZLC o CiP odpowiednio postaci:


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Matematyka 2 85 3X4 V. Elementy rachunku prawJopod(ihieńinu TWIERDZENIE 7.3. Jeżeli (X.Y) jcsl WLC
Matematyka 2 17 316 V Elementy rachunku prawdopodobieństwa Mówimy, Ze zdarzenia A,,A2,... są parami
Matematyka 2 19 318 V Elementy rachunku prawdopodobieństwu W zrozumieniu definicji pr-stwa pomaga u
Matematyka 2 21 320 V. Elementy rachunku prawdopodobieństwa 320 V. Elementy rachunku prawdopodobień
Matematyka 2 23 322 V. Elementy rachunku prawdopodobieństwa 3) Określamy pr-stwo 1*. tj. każdemu zd
Matematyka 2 25 324 V. Elementy rachunku prawdopodobieństwa 324 V. Elementy rachunku prawdopodobień
Matematyka 2 33 332 V Elementy rachunku />rauiopoJohuniwg Dowodzi się, że zbiór W punktów skokow
Matematyka 2 35 334 V. Elementy rachunku prawdopodobieństw yy x, O X, X O X Rys 3.2. Rys 3.3. GP 7.
Matematyka 2 37 336 V. Elementy rachunku prawdopotliibicństwa Jeśli X jest ZLS o punktach skokowych
Matematyka 2 41 340 V. Elementy rachunku prawdopodobieństwu Punktami skokowymi x, ZL X są punkty ni
Matematyka 2 43 342 V. Elementy rachunku prawdopodobieństwu 2. Dana jest dystrybuanta ZLS X: X
Matematyka 2 45 344 V. Elementy rachunku prawdopodobieństwa j) «*) = k)f(x) = I) f(x) = 0 f(x)= 1/2
Matematyka 2 47 346 V. Elementy rachunku pra^ilu/toduhieturua pr-stwa. c) Klóre z nich są dystrybua
Matematyka 2 49 348 V Elementy rachunku prawdopodobieństwa 10 F(x)= 0    dla
Matematyka 2 51 350 V. Elementy rachunku prawdopodobieństwa 350 V. Elementy rachunku prawdopodobień
Matematyka 2 53 352 V. Elementy rachunku prawdopodobieństwu 352 V. Elementy rachunku prawdopodobień
Matematyka 2 55 354 V. Elementy rachunku prawdopodobieństwa D o w 6 d. Ograniczymy się do dowodu pi
Matematyka 2 57 356 V. Elementy rachunku prawJoftodobieńsiwa W tym przykładzie udało się nam uzyska
Matematyka 2 59 358 V. Elementy rachunku prawdopodobieństw! TWIERDZENIE 4.2. Wariancja ZL ma następ

więcej podobnych podstron