mech2 175

343

Rozwiązanie

I

Podany układ ma 4 stopień swobody. Przyjnrujemy cp^. jako współrzędną uogólnioną kąt obrotu cp wału I., Równanie Lagrange'a ma więc następującą postać:

3

2

■3

■i

Rya. 262

Energia kinetyczna wszystkich poruszających się części reduktora

2

.2

2

przy czym U).. - prędkość kątowi, wału napędzającego,

, «

u)o “ prędkość kątowd satelity 2-3 podczas obrotu wokół własnej osi,

^vc - prędkość liniowa środka ciężkości satelity 2-3, uij j - prędkość kątowa wału napędzanego.

Musimy wyznaczyć poszczególne prędkości kątowe.Zależności między względnymi prędkościami kątowymi obrotu kół a promieniami tych kół są następujące:

^ ~ ">11 _ fz

^W2 " ^WII ^r1

0)

r

•'    _ t

y.nolH ''+»    wynikają z przyjętej umowy, że obrót w kierunku rucP^u wskazówek zegara jest ujemny. Ponadto uwzględnimy, że m g =    ^, ⁰¹ 4 ⁼ 0 £_koło 4

jest nieruchome). Wyznaczając z (i) u> ^ - Ujj i podstawiając do (2) otrzymamy!

II

^UII

lo

^r1^r3

UJ 4- U)

II ⁺ I

1 +

12li ^^r3

- «t lip ^{+ r}s2

^r1^r3 ^{+ r}2^r4

Prędkość środka ciężkości satelity 2-3

^r1^r3 C^r3 ^{+ r}4-)

^To - ^H"ll - (^r3 ^{+ r}4) “II -*I t't₃ + r₂r₄ •

Podstawiając wyznaczone wyrażenia do wzoru określającego energię ki^^ne>'y^czn^ otrzymamy:

1 -2

^E - -H

'    ^ ^2m2-3 ^r1^r3 C^r3 + ^r4>² . ^2I2-3^r1 C^r3 ^{ł r}4^²

2 2 ^r1^r3

<^1^r3 ^{+ r}2^r4v    C^r1^r3 ^{+ r}2^r4)

(^r1^r3 + ^2^r4)'

+ I,

13    4_/

j Wyrażenie w nawiasie traktujemy jako moment bezwładności Reduktora ^ ^oa,mi-| czarny I

]    i = i ₊ ^2l~^1    +    (“₂-5^r3 ^{+ I}2-3) ^{+ I}II --2    '

I    . .    ¹ C^r1^r3 ^{+ r}2^r4)    ^    ^    Cl^r3 ⁺ *2*0

stąd

e = 4 i?²

I *

Następnym krokiem jest wyznaczenie energii potencjalnej U.

Ze względu na to, że środek ciężkości wszystkich poruszających si«^ części reduktora znajduje się cały czas na osi pokrywającej alę z osiami wałów I i II, energia potencjalna reduktora jest stała

U = const.