mechanika1 (podrecznik)3

Niech a^O i m = - /J/a oraz n = - y[a. Wówczas

a = mb + nc

i wektory a, b, c leżą w jednej płaszczyźnie - są komplanarne.

1.8. Rozkład wektora

Jeżeli dwa wektory a i fi są liniowo niezależne, to każdy trzeci wektor komplanarny z nimi może być jednoznacznie rozłożony w kierunku tych dwóch wektorów (rys. 1.10)

aa + pb + yc = 0

Utwórzmy różnicę

i jeśli np. y ¥= 0, to

a B

c = — a -- b = Aa + Bb.

y y "

Sprawdzamy, czy wektory są istotnie jednoznacznie rozłożone rozkładając wektor c inaczej:

c = A±a + B_Lb.

(A-AJa+iB-BJb = 0.

Wektory a i b są niekolinearne, więc ich suma nie może się równać zeru, a zatem współczynniki muszą się zerować

A - A_t = 0    i    B - B_t = 0,

a stąd

A = A₁    i    B = B_i.

Jeżeli trzy wektory a, b, c są liniowo niezależne, to dowolny wektor przestrzeni może być jednoznacznie rozłożony na kierunki tych wektorów.

.    1.9. Rzut wektora na oś

Niech bądą dane w przestrzeni płaszczyzna tz oraz oś /, nierównoległa do płaszczyzny u. Rzutem równoległym do płaszczyzny n punktu P na oś l nazywamy punkt P', w którym płaszczyzna równoległa do n i przechodząca przez P przecina oś t.

Rzutem równoległym do płaszczyzny k wektora AB na oś /, umawiamy się, będzie wektor A'B’, którego początek A' jest rzutem punktu A, a koniec B' rzutem

punktu B. Składową wektora AB w kierunku osi l nazywamy moduł wektora | A'B' \ ze znakiem plus, jeżeli cos (AB, 1°) > 0, a ze znakiem minus, jeżeli cos (/IB, /°) < 0, przy czym 1° jest wersorem osi l (rys. 1.11).

Rys. l.tl

Rzuty wektorów równych są równe.

Rzut nazywamy prostokątnym, jeżeli płaszczyzna rr i oś / są prostopadłe. Jeżeli w tekście nie podano, o jaki rzut chodzi, a napisano tylko „rzut wektora na oś (lub płaszczyznę)”, to należy przyjąć, że ma się na myśli rzut prostokątny na daną oś (płaszczyznę).

Rzut sumy wektorów równa się sumie rzutów tych wektorów (wynika to z rysunku 1.12), a zatem

(a + b + c + d)_rzut = a_raut +    + c_rzut + d_czut.

Rzutem prostokątnym wektora a na płaszczyznę n będziemy nazywać wektor a_K, którego początek i koniec są prostokątnymi rzutami początku i końca wektora a na płaszczyznę n.

1.10. Analityczne przedstawienie wektora

Jeżeli mamy trzy liniowo niezależne* wektory, to każdy czwarty wektor można przedstawić jako liniową funkq'ę tych trzech

d = Aa + Bb + Cc.