mechanika1 (podrecznik)
3

28

a)    r_x = O, tzn. siła P ma punkt zaczepienia na osi,

b)    P_K = 0, tzn. siła jest równoległa do prostej,

c)    sin(r_x, P_K) = 0, tzn. siła i wektor wodzący leżą wzdłuż jednej linii prostej, czyli moment siły względem osi jest równy zeru, gdy siła i oś leżą na jednej płaszczyźnie.

Kierunek M, pokrywa się z kierunkiem prostej /, a zwrot jest określony prawoskrętnym układem wektorów r_x, P_x, M_t.

Na podstawie rysunku 2.4 można znaleźć związek między momentem siły względem osi, a momentem siły względem bieguna leżącego na tej osi (rys. 2.4).

Korzystając z geometrycznej interpretacji modułu iloczynu wektorowego możemy napisać, że

\M°\ = 2 F )M,| = 2 F_t,    (2.3)

ale F_X = F cos a, gdzie a jest kątem między F i F_x, czyli

|M,| = 2 F_x = 2Fcosa,

stąd

2F =

1M,|

cosa"

(2.4)

Porównując (2.2) z (2.4) otrzymamy

cosa

(2.5)

\M_t | = |M° | • cosa

Stwierdzamy więc, że; moment siły P względem osi / jest równy rzutowi prostokątnemu momentu siły na tę oś, obliczonego względem bieguna leżącego na tej osi.

Przykład

Dane są wektory

r = xi + yj + zk i P - P_xi + P_fj + P_zk.

Obliczyć moment siły względem osi układu x, y, z względem początku układu współrzędnych. Łatwo można zauważyć, że

M_x = r,. x P_yi,

r_ys = yj + zk, P_yz = P_yj + P.k i momenty względem osi układu wyniosą:

M. =

i	j	k
				y z
0	y	z	= i
				Py P.
0	Py	P,		y ^

M_y =

' j	k		X z
x 0	z	= ~j	Px Pz
O	P.

(2.6)

M. =

i	j	k 0		x y
X	y		= k	Px P„
px	Py	0		x y

a moment siły względem początku układu współrzędnych‘wyznaczamy z zależności

= r x P =

i	j	k		y 2		X	Z	+ k	x y
X	y	z	= i	Py p.	-j	px	pr		Px P„
p*	Py	pz		y s		X	z		x y

(2.7)

Z porównania (2.6) z (2.7) wynika, że:

M° = M_x + M_y + M..

Moment siły względem początku układu współrzędnych jest zatem równy sumie wektorów momentów obliczonych względem osi układu.