mechanika1 (podrecznik)
8

P

Rys. 2.21

Rys. 2.22

W przypadku, gdy liczba równań równowagi jest mniejsza niż liczba niewiadomych r < n, układ nazywamy statycznie niewyznaczalnym albo hiperstatycznym. Gdy liczba równań jest większa od liczby niewiadomych r > n, wówczas układ nazywamy chwiejnym albo mechanizmem.

Rozwiązywaniem układów hiperstatycznych zajmuje się dział mechaniki, zwany wytrzymałością materiałów, natomiast układami chwiejnymi - kinematyka.

4. Znaleźć napięcie w linach podtrzymujących ciężar P (rys. 2.22).

Korzystając z warunków równowagi napiszemy

3

£ P_u = 0, S_x cos a + S₂cosa = 0, S₂ = -S₂,

3

£ P_iy = 0, P - S_x sin a + S₂ sin ac = 0, P = 2 Si sin a.

stąd

Znak minus przy napięciu S₂ oznacza, że zwrot S₂ został przyjęty odwrotnie od rzeczywiście występującego i należy zmienić go na przeciwny.

\

p

Wielobok sił

p

Plan sił

Rys. Z23

Rozwiązanie wykreślne przedstawiono na rysunku 2.23. Można zauważyć, że jeśli zmniejsza się kąt a (kąt pochylenia lin Sj i S₂), to zwiększa się znacznie napięcie w linach.

2.4.2. Warunki równowagi układu trzech sił nierównoległych

P,

Na rysunku 2.24 są przedstawione trzy siły, których linie działania nie przecinają się w jednym punkcie. Aby układ sil pozostawał w równowadze, moment wszystkich sił względem dowolnego bieguna, np. leżącego na linii działania siły P_t, musi być równy zeru

M^A = r_Al xP₂ + r,_Jx?₃ = 0

skąd

^rA₂ x P₂ = ~r_A, x P₃.

Z równania tego wynika, że siły P₂ i P₃ leżą w jednej płaszczyźnie wyznaczonej przez punkt A i wektory r_Aii r_Ay Z sumy rzutów sił na oś prostopadłą do tej płaszczyzny wynika, że i siła P_Ł leży w tej płaszczyźnie, gdyż jej rzut na tę oś musi być równy zeru (dwa pozostałe rzuty są rówoważne zeru). Jeżeli założymy, że siły te są nierównoległe i wyznaczymy moment względem bieguna B, to musi on też równać się zeru wówczas, gdy układ sił jest w równowadze

M^B = r_Bi x Pi = 0.

Ponieważ

„ Pi * 0, więc r_Bl — 0 lub r^JIP^

czyli linia działania siły P₃ musi przechodzić przez punkt przecięcia pozostałych dwu sił układu.

Wniosek: Aby trzy równoległe siły były w równowadze, muszą leżeć w jednej płaszczyźnie i przecinać się w jednym punkcie.

Przykłady

1. Na kwadrat o boku a = 2 m działają siły o wartościach P_Ł = 2y/l N; P₂ = 2 N; P₃ = 4 N (rys. 2.25).

a) Znaleźć wektor główny podanego układu sił.

Rozwiązanie

W przyjętym układzie współrzędnych siły można opisać jako