mechanika1 (podrecznik)
9

40

P_{l =} (~2i - 2j)N, P₂ = 2iN, P₃ = 4jN, zatem wektor główny (2-8)

S = P_l + P₂ + P₃ = 2jN

i jest wektorem swobodnym.

Uwaga: należy zaznaczyć, że zapis wektorowy jest niezmienniczy, tzn. że fizycznie, np. wektor 5 danego układu sił, jest zawsze ten sam, niezależnie od tegcr, w jakim układzie go zapiszemy. Zmieni się co najwyżej wartość jego składowych, czyli jego przedstawienie. Parametry: moduł, kierunek i zwrot pozostaną takie same względem określonych wielkości fizycznych, a więc np. względem ciała sztywnego, czy poszczególnych punktów' materialnych. Przyjęcie określonego układu współrzędnych nie ma więc wpływu na wartości fizyczne; w wielu jednak przypadkach upraszcza (lub utrudnia!) obliczenia. Ze względu na technikę rachunkową wybór układu współrzędnych ma kapitalne znaczenie w mechanice.

b) Określić moment główny podanego układu •    sił względem punktu A.

Wektory wodzące sii ^pi> ^pz, ^p* J^{ak widać na} rysunku 2.25, są następujące r_Fi = 0, r_Pl = AB = 2im, r_P} = AC = (2i 4- 2j)m.

Korzystając z zależności (2.9) mamy:

M^a = r_Pl x P{ + r_P2 x P₂ + r_Pj x P₃ =

i j ^k		i j k		i j k
fi o o	+	2 0 0	+	2 2 0
-2 -2 0		2 0 0		0 4 0

Uważny czytelnik o^d razu zwrócił uwagę, że dwa pierwsze iloczyny zerują się, kierunki bowiem sił P_t i ^pi przechodzą przez biegun.

c) Ile wynosi moment względem punktu D, dla przedstawionego układu, sił? Na podstawie wzoru (2.10) mamy i/v /,/ra7a J-/ fś    \

A = /A 0. rP

i j k

0 2 0 0 2 0

= 8* = m^a:

M^d = M^A + AD x S -- 8/c +

Nieprzypadkowo zachodzi równość M^D = M^A. Przypuśćmy, że znamy moment główny względem określonego bieguna Oj, a chcemy znaleźć tenże względem bieguna O_z. Oczywiście jest spełniona relacja (2.10), w której a = 0_L0₂. Przedstawmy wektor 0_L0₂ za pomocą dwóch nowych wektorów, z których pierwszy 0₂0₂ ma kierunek wektora S, a drugi - 0₃O₂, jest do wektora S prostopadły. Operację tę zawsze możemy wykonać sprowadzając początek wektora swobodnego do punktu Oj, a następnie wykonując powyższy rozkład w płaszczyźnie wektorów S i O_l0₂. Mamy wówczas

M% — M° + 0_L0₃ x S + 0₂0₂ x S.

Ponieważ 0₁O₃ = IS, zatem drugi wektor sumy jest zerowy. Jeśli więc 0₃0, jest równy 0, tzn. jeśli kierunek 0^0₂ jest równoległy do kierunku wektora S, to moment główny względem dowolnego punktu obranego na tym kierunku jest taki sam.

d) Czy można w punkcie D przyłożyć określoną siłę P₄ taką, aby moment główny względem A był równy zeru? Niech siła P₄ ma składowe wektory P_4x, P_4y, P₄-, jej wektor wodzący jest r_Pi{0, 2, 0) i mamy

	i	i	k
-f oo II §	0	2	0
		P*,

8fc - 2 P_4c i - 2P_4x • k.

Moment M^A ma być równy zeru, czyli wszystkie składowe muszą być równe zeru, stąd

P_4; = ON, 8-2 P_4x = ON, P_4x = 4 N.

Oznacza to, że rozwiązanie zadania nie jest jednoznaczne, wektor bowiem P₄ ma określone wartości składowych P_4x i P_4z, składowa P_4y zaś dowolna (nie występuje w równaniach!). Zadanie będzie jednoznaczne, jeśli zostanie narzucony dodatkpwy warunek, np. |P₄| = 10 N.

2. Na punkt M działają trzy siły: P_L, P₂ i P₃, leżące na płaszczyźhie. Znane są kąty między siłami oraz dwie z sił, np. P_l i P₂ (rys. 2.26). Wyznaczyć siłę P₃, jeśli układ jest w równowadze.

a) Rozwiązanie analityczne. Załóżmy, że siła P₃ ma zwrot taki, jaki przyjęto na rysunku. Jeśli układ ma być w równowadze, to suma rzutów wszystkich sił na dowolną oś musi być równa zeru. Przyjmiemy oś x prostopadle do siły P₂ (pamiętamy o określaniu kątów zawsze od dodatniego kierunku zwrotu osi!)

P₃cos/3 + P₃cosy = 0, ale

P = 90° - a₃ i y = 360° - (90° + <x_L)