mechanika1 (podrecznik)5

134

D_? = -(cos cos ce₃ l_x + cos /?₃ cos y₃ I_y + cos y₃ cos y₃1.) +

+ (cos oc₃ cos /?₃ + cos cos oc₃)D_xy +

+ (cos/?_x cos y₃ + cosy _t cos fi₃)D_yz +

+ (cos y₃ cos a₃ + cos a_L cos y₃)D_x..

W szczególnym przypadku figury płaskiej mamy

«!=<?;    $1 = 90 - cp\ y₃ = 90°;

a₂ = 90 + cp-    P₂ = cp;    y₂ = 90°^

czyli

D_in = - [cos cp cos (90 + cp)I_x + cos(90 - cp) cos cpl_y~] +

+ [cos cp cos cp + cos(90 4- <p)cos(90 - cp^D^ =

r -i

= sin cp cos cp (I_x - I_y) + cos 2 cp D_xy -    * ^y sin 2 cp +

+ cos 2 cp D_xy,

^{=    1} sin 2 cp + D_xy cos 2 cp.    (4.46)

Otrzymany wzór (4.46) podaje transformację momentu dewiacji dla przypadku płaskiego.

Jeśli osie ę, rj mają być osiami głównymi, to D_?, = 0, czyli

tg 2 <p

2 Dxy

W?

:ak samo jak dla transformacji momentów bezwładności.

4.4.6. Transformacja elipsoidy bezwładności przy obrocie dookoła osi głównej

Omówiony poniżej szczególny przypadek transformacji ma ważne znaczenie praktyczne.

Niech osie x, y, z są głównymi osiami bezwładności danego ciała. Elipsoida v tym układzie opisana jest zależnością:

I₃x² + I₂y² + I₃z² = 1.    (4.47)

Możemy wyznaczyć momenty bezwładności i momenty dewiacji w nowym ikładzie ę, rj, (, który powstał z układu osi głównych przez obrót dookoła osi x i kąt oc (rys. 4.20), w następujący sposób:

W nowym układzie elipsoida (4.47) będzie miała postać:

I_ąe + /„r + ięf² - 2Dtotn - 2D_s& - 22)^ = 1.    (4.48)

z

y

7

Rys. 4.20

Ponieważ wzory transformacyjne między przyjętymi układami są tutaj następujące:

(4.49)

z = rj sin a + £ cos a,

po podstawieniu tych zależności do (4.47) i uporządkowaniu otrzymamy: I_LŹ² + (/₂ cos² ae + I₃ sin² a)rj² +

Przez porównanie odpowiednich współczynników po lewych stronach wzorów (4.48) i (4.50), przedstawiających tę samą elipsoidę w różnych układach odniesienia, otrzymujemy:

(4.51)

Jak widzimy, jeśli oś x = £ jest osią główną, to i po transformacji momenty dewiacji

związane z tą osią są równe zeru.

* • .

Przykłady

1. Znaleźć momenty bezwładności prostokąta o bokach a i b, względem osi pokrywających się z jego bokami.