obraz8

169

169

§19. Całki powierzchniowe

/>(z,x) 1	|-2u	cos ul	-2u^2 sin v
D (u , v)	0 — wsinu|
D(x,y)_	cos u	sin u	— u,
D(u, u)	— w sm v u cos v

_f r r __ 2u^z cos v ■ u cos v (1 — w²) + 2u² sin v • u sin v (1 — u²)—u] du dv —

2*    2n 1

j £ j [(1 — u^z)2u³cos2v+u]dv]du= — J [ J udu]dv=^: —it,

9 0

[ ,ii    „łaiac ze wzoru Stokesa obliczyć całkę

I €r. jcorzy^staj4

>4= J (y ² + z²) dx+(x² + z²) dy + (x² + y ²) dz,

K

. _(ryS.\69)

_K:    x²+y²+z²—2Rx, x^z+y²=2rx,    z> 0    (0 <r<R).

.

|0rientacja krzywej K jest zgodna z dodatnią orientacją części S (rys. 69) powierzchni |falix²+y²+z²=2JŁ* odciętej przez krzywą K, tzn. przy obiegu punktu po krzywej część S powierzchni kuli zostaje po lewej stronie (rys. 69).

■ Rozwiązanie. Jako powierzchnię rozpiętą na konturze K weźmy górną stronę części S ^wierzchni kuli x²+y²+z²=2ibc. Stąd (rys. 69)

S: z =VR²-(x-R)²-y^ dla D:    (x — r)²+y²<r².

l^*¹ R,=*2y, Q_x~2z, P_z=2z, R_x=2x, Q_x=2x, P_y=s2y, zatem na mocy wzoru (11)

•4 «=2 JJ (y — z)dy dz +(z — x) dx dz +(x—y) dx dy — s*

^2 JJ £(y—z) cos oc+(z ■— x) cos fi+(x—y) cos y] dS.