Obraz6 4

134

Przypomnijmy ponadto, że tak jak w wypadku zmiennej losowej skokowej, tak i dla zmiennej losowej ciągłej nadzieja matematyczna oraz wariancja mają swoje własności oraz że wygodnie jest obliczać wariancję ze wzoru:

D\X) = m₂-(m_])².    (4.26)

Przykład 4.8

Zmienna losowa X ma funkcję gęstości prawdopodobieństwa określoną wzorem:

/(*H

0 dla *<0 3x² dla 0<;e<l 0 dla x>\

X

Wiedząc, że F(x) = Jf{t)dt oraz j{x) = F'(x), otrzymamy następujące wyrażenie dla dystrybuanty tej zmiennej:

0    dla x < 0 x³ dla 0<x<l

1    dla * > 1

Na przykład^ dla *=(1/2) wartość dystrybuanty jest równa F(l/2) =

1/2    W

= ^3x²dx = 1/8."

Obliczając prawdopodobieństwo tego, że zmienna losowa X przyjmie wartość np. z przedziału (1/10; 3/10), mamy:

( 1    3 'j ^3y,r° ₂ , f 31³/10    26

P—<X<— = \3x²dx = \xⁱ\_xhQ --.

[l0    10 J J₀ ^{L Jl/10}    1000

Prawdopodobieństwo to możemy także przedstawić w następujący sposób:

/

P

\

U°;

3/10    1/10

|3x²dx- j*3x²dx

26

Toóo'

Nadzieję matematyczną zmiennej losowej X oblicza się w następujący sposób:

E(X)= |xf(x)dx= J xf(x)dx + ^xf{x)dx + Jjxf(x)dx =

— x 4

= pc3 x²dx =

Wariancję zmiennej losowej X można obliczyć w dwojaki sposób: D\X)= ]U-£(X)]²/(A')^ = 3jfx-^ x²dx =

lub

D²(X) = E(X²)-E²(X)= \x²f(x)dx-E²(X) =

U sl	i	fu
— X	—	—
_5	0	UJ

_3_

80

i

= \x²3x²dx-E²(X) =

Rozkład jednostajny (równomierny, prostokątny)

Funkcja gęstości zmiennej losowej o rozkładzie jednostajnym ma postać:

/(■*) = <

0, gdy xe(-°°,a) , gdy xG(a,b)

b - a

0, gdy xe(b,°°).

(4.27)

Dystrybuanta tej zmiennej wyraża się wzorem:

0,    gdy jce(-°o ,u)

(•I >H)

7—gdy xe (a,b) b - a

1,    gdy xe(b,oo).

Ponadto dla tego rozkładu:

E(X)=-

a + b

°^2(X)=TI ^{b~a)'

(4 "M