Photo011

/(0; y)=p(y |e)= p(y I *-Po.Pi .®)= ^ex_Pf-i_r£(.>'< - p₀ - p.jc, f

® l2o^ztr

Rozkład a priori

Załóżmy, że wykorzystamy prosty rozkład prawdopodobieństwa, postaci:

p(e) = p(p₀ ,P,. o)=/>(p₀ )/>(P, )/>M,

przy czym

1

/>(Po)«c,, p(Pi)*f]i p(o) cc — oraz c,,c₂ oznaczają stałe.

a

Rozkład o posteriori

Na mocy twierdzenia Bayesa możemy wyznaczyć łączny rozkład a posteriori postaci:

p(e|>’)= p(Po.Pi >® I x,y)« - ■ -T^cxp| - TTYJji - Po - Pi)^: ] ■ fl

® ® k ²® i-i    J

gdzie:

-°°<Po»Pi <°o; 0<a<oo.

Wyrażenie ~P₀-p,*,)² możemy zapisać jako:

2>« -P» -M,)² =ZKy, -Po -M,)-fo₀ -Po)-(p, -P.W,

/«!

gdzie:

Po =>'-Pi^; Pi -~~~v- są estymatorami parametrów p₀ i Pi

Zfo^-*)²

/■ i

uzyskanymi klasyczną metodą najmniejszych kwadratów.

s

Ponadto x = N~^x^x,, y = N~^]^y, i nicobciążony estymator wariafl^l

/-i

resztowej ma postać:

s,-s-2%

l -tająe z powyższych oznaczeń oraz całkując względem er otrzymujemy dwuwymiarową gęstość a posteriori, postaci:

(^ - 2>S,² + ^(p₀-Po)² +(P,-PJŻ^²

/-I

,-"A

+ 2(p₀ -PoXPi “Pi)£¹/

/-i

która jest dwu-wymiarowym rozkładem t-Studenta. Szukanym rozkładem a posteriori jest brzegowy rozkład dla każdego z parametrów. Z powyższego wynika, że rozkład każdego z parametrów jest jedno-wymiarowym rozkładem t-Studenta, postaci:

I U-¹)²

J=L

_C2 S

ł»l

(Po-Polr.^- ‘n-i

oraz

T~	\
s
11 2-. IX 1 Ł____J

j z

wyższe wzory są konsekwencją tego, że zmienna losowa t =    ^ ma rozkład

t-St y

Jiwe/ito o N-2 stopniach swobody, przy czym ó’(p) oznacza standardowy błąd

I(w)²

65

1

parametru p. Odpowiednie błędy standardowe wynoszą: