SCN20

Postać trygonometryczna liczby zespolonej

Zadanie 2.7. Wyznaczyć moduły i argumenty następujących liczb zespolonych:

a)    z = 1 + i,

b)    z= i-i,

c)    z — 8    + Si.

Rozwiązanie.

Ad. a) Jeżeli z = 1 + /, to _

\z\ =Vl²+l² =V2.

Argument <p liczby zespolonej z = x + iy wyznaczamy w następujący sposób:

x    . y

cos(p= — oraz sinę =

Ul    Ul

Musimy znaleźć taką liczbę rzeczywistą (p, która spełnia równania:

1 1 cos q>=—=, sinffl=-=

V2    V2

(mamy tutaj x =\,y =1, | z| = -Jl) równoważne poniższym równaniom:

V2    .    V2

co sę=    sin

Zatem argumentem głównym liczby zespolonej z= I + i jest:

<Po = Arg{\ + i) =    [0. 2n),

4

ponieważ <p„ spełnia powyższe równania oraz należy do przedziału

[0.2n).

Natomiast argumentem liczby zespolonej z = 1 + i jest liczba:

(p = <p₀ + 2kn = — + 2kn, gdzie k = ...,-2, -1,0,1,2.....

4

Ad. b)Tutaj | z| = -Jl²+(-l)² =-H.

Tutaj liczba (p musi spełniać równania:

1    72

i    72

&    2 *

sinęj =

“^TTT’

ponieważ ,v = 1. y = — 1, | ;| = 7? . Liczba:

_ n 7

©„ = 27t--= — n

4    4

jest argumentem głównym. W związku z tym:

arg z = —TT + 2for, gdzie k = ...,-2, -1,0, 1,2,....

Ad. c) Teraz mamy | z\ = -J(S-j3)² +8² =7256 =16 oraz jc = 8 73 , y - 8, więc argument liczby zespolonej spełnia równania:

* 873 S cos <p=-— = —, sirwp

y _ 8    1

16 2

Poszukiwany główny argument ę₀ =—, więc:

6

arg z = — +2kn, gdzie k = ...,-2, -1,0, 1,2,.... 6

'| z | ~ 16 ^_ 2

Zadanie 2.8. Przedstawimy w postaci trygonometrycznej liczby zespolone z poprzedniego zadania.

Rozwiązanie. Weźmy dowolną liczbę zespoloną z = x + iy, z*0. Ponieważ:

x    y

cos(p=— oraz sinip =    ,

Ul    Ul

więc:

Z = x + iy = Ul cos(p + | z\ isirup = | z|(cosę> + is\n<p).

Liczbę zespoloną z zapisaną w postaci:

z = | z|(cos<p + fsimp)

nazywamy liczbą zespoloną w postaci trygonometrycznej.

Ad. a)

■M*

z = l + i = 72 (cos — + /sin —)    (gdzie I z| = 72 oraz <p₀ —

4    4

43