SCN67

i

/\/\aAae K

ae R asK

wynika dla a = O, że OAr/ = 0e K (gdzie 0 jest elementem zerowym w przestrzeni liniowej, której podprzestrzenią jest K). Zatem jeżeli V byłoby podprzestrzenią przestrzeni liniowej R , to eieincnt zerowy 0 = (0,0,0) należałby do V. Jednakże trójka (0,0,0) nie jest rozwiązaniem powyższego układu, więc 0 = (0,0,0)6 V. Stąd wnioskujemy, że V nie jest podprzestrzenią przestrzeni liniowej R³.

Uwaga. Powyższy rezultat również można uogólnić na zbiory rozwiązań dowolnych niejednorodnych układów równań liniowych.

Zadanie 3.1.5. Sprawdzić czy dane przekształcenia <p: L -» V są liniowe:

a)    L = R³, V = R², <p((x,y,z)) = Qx + 2y-z-y + 4z),

b) L = R⁴, V = R,    <p((x,y,z,t)) = 2x-y + xz-t.

^c-    Rozwiązanie.

Ad. a) Sprawdźmy warunek addytywności. Niech x' = (;t|,y,, Zj), x² = (x₂,y₂>Z₂) będą dowolnymi wektorami przestrzeni R³. Obliczmy:

<p(x' + x²) = ęj((.v,, y,, z,) + (x₂, y₂, z₂)) =

= ę>(U₁+j:₂,y, + y₂,z₁+z₂)) =

= (3(-v, + x₂) + 2(y, +y₂)-(z, +z₂),

+ y₂)⁺⁴(zi +z₂))=

= (3JC, + 3x₂ + 2y, + 2y₂ - z, - z₂,

-yi-y₂⁺⁴^⁺⁴z₂)=

= ((3-r, + 2y, - z,) + (3x₂ + 2y₂ - z₂),

(-yi+4z,) + (-y₂+⁴z₂))=

= <p(x') + <p(x²).

Sprawdzimy teraz czy przekształcenie (p spełnia warunek jednorodności. ^ Niech x będzie dowolnym wektorem przestrzeni R³, zaś a dowolną liczbą rzeczywistą. Wtedy:

58

mmm

ę(ax) = ę(a{x, y, z)) = ę((ax,ccy,az)) =

= (3ax+ 2 ay- az-ay + 4 a z) =

- a(3x + 2 y- z,-y + 4z) = a<p(x).

Przekształcenie (p jest addytywne i jednorodne. Zatem <p jest przekształceniem liniowym.

Ad. b) Sprawdzimy warunek jednorodności. Niech x będzie dowolnym wektorem przestrzeni R⁴, zaś a dowolną liczbą rzeczywistą. Wtedy:

<p(ax) ^ę(a(x,y,z,t)) = <p{(ax,ay,cu,ai))

= 2ocx—ccy + axaz -cet =

= a(2x—y+ccxz -t)* a<p(x).

Warunek jednorodności nie jest spełniony. Przekształcenie q> nie jest liniowe.

Zadanie 3.1.6. Niech dane będą wektory a = (4,0,-3,ł),b = (2,5,1,0), c = (-1,2,1,1) przestrzeni liniowej R⁴. Wyznaczyć wektor xe R⁴ będący kombinacją liniową układu wektorów {a, b, c} o współczynnikach 2, -3 oraz 7 odpowiednio.

Rozwiązanie.

x = 2 a + (-3) b + 7 c = 2 • (4,0. - 3,1) + (-3) • (2,5,1,0) + 7 - (-1,2,1,1) = = (8,0, - 6,2) + (-6, -15, - 3,0) + (-7,14,7,7) = (-5, -1-2,9).

Zadanie 3.1.7. Przedstawić wektor x = (8,-l,-4) jako kombinację liniową układu wektorów:

a)    a=(-2,-3kO), b=(H5,2),

b)    c = (1,1,0), d = (1,0,1).

Rozwiązanie.

Ad. a)

x = a, a + a₂ b <=> (8, -1, - 4) = a, (-2, - 3,0) + a₂ (-1;5,2) <=>

	8 = —2ct| - a 2	2a, = -8 - a2
<=>	-1 = -3a, + 5a2 <=>	3 at = 5a2 +1 <=>
	- 4 = 2a, .	a, =-2

59