2. Niech:
x,ye R oraz x < y wtedy \y/ x<z<y zeR
Wniosek
Pomiędzy dwoma różnymi liczbami rzeczywistymi istnieje nieskończenie wiele innych liczb rzeczywistych. Ta własność nazywana jest ciągłością zbioru liczb rzeczywistych.
3. Zbiór liczb rzeczywistych R jest ciałem algebraicznym, czyli:
a) {R,+) -jest addytywną grupą przemienną,
b) (i?\{0}, •) - jest multiplikatywną grupą przemienną,
c) mnożenie jest rozdzielne względem dodawania, czyli:
[a (b + c) = ab + ac a (a + b)c = ac + bc]
a,b,c 6 R
1. (a,b) = [xe R-, a<x<b)~ przedział domknięty, •
2. (a, b) = {x 6 R; a < x < b\ - przedział otwarty,
3. (a, b) = {xe R; a < x <b] - przedział lewostronnie domknięty
i prawostronnie otwarty,
4. (a, b ) = {x e /?; a<x<b}~ przedział lewostronnie otwarty
i prawostronnie domknięty.
1. (-oo, a) = [xe R-, -co <x< a) - przedział prawostronnie domknięty i lewostronnie otwarty oraz nieograniczony,
2. (- oo, a) = IX e R\ -oo<x<a\ ~ Podział prawostronnie
otwarty i lewostronnie otwarty oraz nieograniczony,
3. (b,+°°) = (xe R\ b<x<+~) ~Przedział lewostronnie
otwarty i prawostronnie otwarty oraz nieograniczony,
4. (b, +oo) = {xe R\ bśx< +°°} “ przedział lewostronnie dom
knięty i prawostronnie otwarty oraz nieograniczony,
5. (_oo,+eo) = {jr€ R-, — oo<x<+00} - przedział obustronnie otwarty
i nieograniczony.
Podzbiór B c R nazywamy skończonym, jeżeli należy do niego skończona ilość elementów.
Podzbiór A c R nazywamy obustronnie ograniczonym, gdy:
\/ A<z(m,M) m,M e R
Wnioski
1. Każdy zbiór skończony jest ograniczony.
2. Zbiór ograniczony może być nieskończony.
3. Można rozpatrywać również podzbiory A cR ograniczone jednostronnie (z dołu lub z góry).
Niech xa 6 R oraz e e R a e > 0.