skan0026

00

07. y ■Ci«r^B + ć72S«'‘® ^{+ 4}*^e“^!B Qln³®-ln²®+ 2In®-2^ cos 2x

»8. y - Ci cosi + Ci sin* -

00. y = Ci cos x + Ci sin x — sin x + x cos x - sin x ln | cos®|

100.    y = Ci + C₂e® + Cs^e~^x + «* ^sin «"*

. „    .1    , 1 — sin x

101.    y = Ci + Ci sin® + cos® - x + - cos®ln _sina.

102. y = y/2 sin 2x - \    103. y = ł - j^e~^4x + jr

104. j/ = e²® - a;² - 1    105. y = xe^4x + |®²e^4x

100. y = cos 2x + \ sin 2x + - sin x

107.2/ ■ 11 + 2x - e®(ll - 9® + 12®²) + ie^5x 108. (o) y = Ae^2x, (b) y = Ax²e^3x, (c)y = ax + b

100. (a) j/ = (aa: + b)e^x, (&) y = z(a® + 6)e⁵®,

(c) y = Acos |® + Bsin \x

110.    (a) y = ®(a®² + bx + c), (6) y = .A sin 9® + Bcos9®

111.    (o) y = x(A sin 5x + B cos 5x), (b) y = A

112.    (a) y = Ae~^2x, (b) y — .A sin 3® + Bcos3®,

(c) y = e~^2x(A sin 6x + B cos 6®), (d) y = xe~^2x(Asin 3x + B cos 3®)

113.    (a) y = A®, (6) y = Asin®+ Bcos®,

(c) y = e*(A sin x + B cos x)

2.8. Równanie różniczkowe Eulera rzędu n

Równaniem różniczkowym Eulera rzędu n nazywamy równanie postaci.

a_niuⁿifi'^:) + On-i&ⁿ“ V”"¹) ■+■ a_n_2xⁿ~²y(ⁿ~²^ + • • • + ai®y' + aoy - f(x), (2.8.1)

udzie współczynniki o*, k = 0,1, ■ • • ,n są stałe (rzeczywiste), a_n i¹0, a funkcja f Jest ciągła w pewnym przedziale. Współczynniki o* oraz funkcja / są dane.

Rozwiązania togo równania szukamy dla x > 0. Wprowadzając nową zmienną niezależną i za pomocą podstawienia x = e⁴, równanie (2.8.1) sprowadzimy do równania liniowego rzędu n o stałych współczynnikach.

Wyznaczyć rozwiązanie równania: 1. aPyⁿ H- 2xy' — 2y = 4\nx

Rozwiązanie

Jsit to równanie Eulera rzędu drugiego. Wprowadzając nową zmienną niezależną t za pomocą podstawienia x = e^ł, pamiętajmy, aby przetransformować iwur/o równanie ze starej zmiennej x w nową zmienną t. Mamy więc

v'

v"

dt

dx

dy\ dt) ’

dy _ dy dt _J __t dy dx dt dx dt d?y _ d_ fdy\ _ d_ f -_tdy\ dx² dx \dx) dt \ dt)

a Itąd wynika, że nowe równanie po uporządkowaniu ma postać: () trzymane równanie jest równaniem liniowym drugiego rzędu o stałych współczynnikach, a wiec

2/o (t) = C\e~^2t 4- C^e*

Jeal całką ogólną równania jednorodnego, natomiast

■2t — 1

Y(t)

§M| całką szczególną równania niejednorodnego. Stąd całka ogólna równania (2.8.2) ma postać:    /    .

y(^.=pie~^2t +    — 21— 1..    /:

Wracając do zmiennej x, otrzymamy rozwiązanie wyjśdowego równania i jest nim funkcja y dana wzorem:    /

y(x) = C\x ² + Czx — 21nrcHl.

fy znaczyć	rozwiązania:
y a)^9# -	2ym0 ’	r*	■V-	xy'	= 0
a.oiY +	5xy' 4 4y ■» 0	4.	<rV -	xy'	4-2/ = 0
	xy' -I- 2y m 0	0.	»V" 4	■ By	'-1/-0