skan0027

(IM

ł Ct)®*!/"' - 0j/ ■ 0 •	H. WJii«^sy" -j- ^
P (»)^xv"+v' = *	.....1^07 a>V xy^,-\'V^esX
1 - 2xy'+ 2y = x^4e®	12. x^ay" - 2®y' + 20 ^
(j^V'-3xy' + 4y = -^-lnx	2*2^// _j_ 5^' 4- 4y —
/ 15y 2x^2y" — 3xy' — 3 y = 1 ■+■ 2x + x^2	16. x^2y^/; — 4xy' + fffl

Kjy — j. -r    t Jj    xu. -ju y — wy ,t

jM

\nx² I

(1^> x²y" — 3xy' + 3 y = 4x³ sin(ln x)

¹ 18. x³y^w/ — 3x²y" + 6xy' — 6y = 3 + Ina;³ Jj&x²y"-5xy' + &y = 0, y(2) = 32, y'(2) = 0 <2o)a;V-3xy + 4y = 0, y( 1) = 5, y'(l) = 3

Odpowiedzi

1. y = C\x~^y + C₂x²    2. y =    C\ + C*x²

3. y = Ci®“² + C2X~²lnx    4. y =    C\x + C2x\nx

5. y = Ci^cosOn^ + C^a^sin^na;)    6. y =    Cix + C2£lnx + (73x(ln:m

7.    y = Cix³ + C2 cos(>/21nx) + C3 sin(\/21nx)

8.    y = Ci cos In + C₂ sin Q In x^j

9* V = Ci + C₂lnx + jx²

11. y = Ci ar + C2S² + x²e^x - 2xe^x

13.    y = ar²f6'i + (Ca — 1 + ln(Jn ar)) In x]

14.    y = x~²[Ci + {C2 + ln(Inar)) JnarJ

15.    y = Ciar"^ + ft*³ - 3®- |x²

f4    g    1

C7₂--sin(Jnar)--cos(Inar)|

10. y = Cix + C2® ln x + -x⁴    1

12. y = C₁x + C2ar²-|X³ + ^x³ In :r j

^ + C₂x³ + ±l_nx+±\

3    181

18. y = C_xx + ||i^{? +} f|i 2 ^In:C

12

19. y = 16x² — 2#

2°. y = 5x² — _7a?2 _{Jn a}

m

ias

*

a"

Mi Układy równań różniczkowych - metoda eliminacji

pach będzie dany układ równań różniczkowych rzędu pierwszego postaci:

{dx .,    .

(2.9.1)

_Tt=hif,x,y),

di^=Mt'^x’^y)

Hlliwladomymi x = x(t), y = y(t). O funkcjach fi i fa zakładamy, że są ciągłe w pewnym przedziale. Jedną z metod rozwiązywania układu (2.9.1) jest metoda eli-lllInacji, która polega na sprowadzeniu rozwiązania tego układu do rozwiązywania lawnego równania różniczkowego rzędu drugiego z jedną tylko funkcją niewiadomą.

Wyznaczyć rozwiązanie układu równań:

| ( y' - z' = z - e^x,

* \ z¹ = -y +z+ e^2x

■Uwiązanie

Najpierw zauważmy, że nasz układ można sprowadzić do postaci (2.9.1). Aby wyznaczyć rozwiązanie, wyznaczmy z drugiego równania zmienną y, tzn.

y = — z' + z + e^2x, a stąd y' '== —z" + z' + 2e^2x, a więc po wstawieniu y' do równania pierwszego przyjmie ono postać: j z"+ z = 2e^2x + e^x.

Otrzymane równanie jest równaniem liniowym rzędu drugiego o stałych współczynnikach. Łatwo zauważyć, że

z₀ = Ci cosx + C2 sin x JcHt całką ogólną równania jednorodnego, natomiast

^S|p|

jen i, całką szczególną równania niejednorodnego (zauważmy, że całkę szczególną można wyznaczyć metodą przewidywań, szukając jej w postaci Z = Ae^2x+Be^x). stąd

1

ta liom las ł;