Untitled Scanned 34

98

A i B są dowolnymi formulami zdaniowymi, to wyrażenia (A) a (B), (A) v (B), (.4)->(/J), (A)*-*(B) są również formulami zdaniowymi. (iv) Nie ma innych formuł zdaniowych (języka teorii mnogości) prócz atomowych i prócz tych, które można skonstruować wedle reguł podanych w punktach (ii) oraz (iii).

Następne definicje sformułowane będą nie całkiem ściśle, ale za to całkiem zrozumiale. Oczywiście, można by nadać im postać zupełnie precyzyjną. Jednakże stałyby się one wtedy - niepotrzebnie - zbyt skomplikowane.

DEFINICJA 2.3. Wyrażenie A w formule zdaniowej o postaci f\{A) lub

X,

o postaci \/ (A) nazywamy zasięgiem odpowiedniego kwantyfikatora.

XI

Innymi słowy, zasięgiem danego kwantyfikatora jest formuła /.daniowa, która mieści się w nawiasach bezpośrednio za tym kwantylikatorem.

DEFINICJA 2.4. Zmienna x_i występująca na danym miejscu w formule zdaniowej A jest na tym miejscu związana, jeżeli jest ona podpisana pod którymś z kwanty fikał or ów lub też znajduje się w zasięgu jakiegoś kwantyfikatora. pod którym podpisana jest również zmienna x,.

DEFINICJA 2.5. Jeżeli zmienna x,, występująca na danym miejscu w formuie zdaniowej A, nie jest na tym miejscu związana, to mówimy, że jest ona na tym miejscu wolna w A.

DEFINICJA 2.6. Mówimy, że jest zmienną wolną w A wtedy i tylko wtedy, gdy przynajmniej na jednym miejscu zmienna ta jest wolna w A.

DEFINICJA 2.7. Formuły zdaniowe nie zawierające żadnych zmiennych wolnych nazywamy zdaniami (języka teorii mnogości).

Dla przykładu rozważmy następującą formułę zdaniową:

/\(x e y) - \/ [z e y v n(x e yj].

X    Z

Zasięgiem kwantyfikatora /\ jest tutaj formuła x e y. Zasięgiem kwan-

X

tyfikatora \/ jest formuła z e y v i(x e y). Zmienna x występuje na trzech

miejscach, przy czym na pierwszych dwóch jest ona związana, zaś na trzecim wolna. Zmienna z jest na obu miejscach, w których występuje, związana. Zmienna y jest na wszystkich trzech miejscach wolna. W związku z tym zmienna y jest wolna w rozważanej formule. Również zmienna x jcsl w niej