Untitled Scanned 35

99

wolna. Jednakże ani z ani żadna inna zmienna nic jest w niej wolna. Formuła ta, oczywiście, nie jest zdaniem. Przykładami zdań języka teorii mnogości są natomiast następujące dwie formuły:

/\\/(xey).    VA⁶ >')■

X y    X y

Pierwsze z tych zdań głosi, że każdy przedmiot jest elementem czegoś (pewnego zbioru) i wydaje się nam niewątpliwie prawdziwe. Drugie z nich głosi, że pewien przedmiot jest elementem wszystkiego i wydaje się niewątpliwie fałszywe.

Ściśle biorąc, w^r podanych powyżej zdaniach powinny wystąpić dodatkowe nawiasy pomiędzy sąsiadującymi ze sobą kwantyfikatorami. Pominęliśmy je, gdyż i tak nie może być wątpliwości, że zasięg pierwszego kwantyfikatora kończy się wraz z zasięgiem drugiego kwantyfikatora. Również w dalszym ciągu będziemy pomijali niektóre zbędne nawiasy. W szczególności stosować się będziemy do umów, które w’ związku ze sprawą nawiasów przyjęliśmy już na terenie rachunku zdań.

Aksjomatami systemu Zcrmela są pewne zdania języka teorii mnogości, wyrażające różne podstawowe własności pojęć identyczności, zbioru i należenia do zbioru. Wymieniamy je poniżej, jako zdania 1-13.

1.    /\(x = x)

X

¹ AA (*=>’ - y=^x)

X y

¹ AAA(*=>’^A y=^z - *=^z>

X y :

4-    AAO=>> a Z(x) Z(y)]

x y

⁵-    AAA(*=y A x e z y e z)

X y :

⁶-    f\/\/\{x=y * z e x-> z e y)

x y :

Aksjomaty powyższe to tzw. aksjomaty identyczności. Pierwsze trzy z nich stwierdzają, że identyczność jest zwrotna, symetryczna i przechodnia. Pozostałe trzy stwierdzają, że przedmioty identyczne są wymienialne wzajemnie pod predykatami Z i e.

Podobne aksjomaty identyczności przyjmuje się właściwie we wszystkich teoriach, w których w ogóle jest mowa o identyczności, czyli tzw. teoriach z identycznością. Dopiero dalsze aksjomaty, które podajemy poniżej, są bardziej swoiste dla teorii mnogości. Są one naw^ret zaopatrywane w specjalne nazwy, pochodzące przeważnie jeszcze od Zermcla.