zad5

Zadania z „Elementów procesów stochastycznych”

Lista 5

Zad. 32. Obliczyć wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej losowej o rozkładzie Poissona z parametrem A > 0.

Zad. 33.Niech T będzie zmienną losową o rozkładzie wykładniczym z parametrem A > 0.

a)    Obliczyć wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej T.

b)    Obliczyć P[T > t) oraz prawdopodobieństwo warunkowe P(T > s + t\T > s) dla s,t > 0.

Zad. 34. Niech A'(/) będzie procesem Poissona o intensywności A. Oznaczmy wartość oczekiwaną procesu przez rn(t) = E(X(l)).

a)    Korzystając z niezależności przyrostów tego procesu, obliczyć jego funkcję korelacji, tzn.

= E[(X(t) - m(t))(X(s) - m(.s))].

b)    Dla A = 1 obliczyć P(X( 1) < 1, X(2) < 2, A'(3) < 3).

c)    Dla 0 </</ + /;. < s obliczyć

P(X(t + li) - X(i) = k\X(s) = n).

Zad. 35. Trzęsienia ziemi zdarzają się w pewnym regionie zgodnie z rozkładem Poissona o intensywności 5 w ciągu roku.

a)    Jakie jest prawdopodobieństwo, że w pierwszej połowie roku 2010 będą co najmniej 2 trzęsienia ziemi w tym regionie?

b)    Załóżmy, że zdarzy się sytuacja opisana w a). Jakie jest wtedy prawdopodobieństwo co najmniej I trzęsień ziemi w pierwszych 9 miesiącach roku 2010?

i

Zad. 36. Niech 7\,T₂,... ozanczają momenty pierwszego, drugiego itcl. sygnału w procesie Poissona X(l) o intensywności A.

a)    Pokazać, że dwa zdarzenia {T_n < / } oraz {X(t) > n} są identyczne.

b)    Pokazać, że P(T₂ </) = !— e~^Xl —iXe~^Xt dla t > 0. Obliczyć P(T_n < i) dla ??. > 1.

c)    Znaleźć gęstość zmiennej losowej T„. Jest to gęstość gamma z parametrami n i A.

Zad. 37. Autobusy przyjeżdżają na przystanek tak, jak pojawiają się sygnały w procesie Poissona o intensywności A. Przychodzimy na przystanek w chwili t > 0. Niech W{t) oznacza czas oczekiwania na najbliższy autobus. Obliczyć P(W(l) > x) dla x > 0 oraz E(W(/ )).

Zad. 38. W czystym procesie urodzin A₀ = A] = 1, jiatomiast \₂ — a > 0. Załóżmy, że .V(0) = U. Obliczyć P₀(t), P\(t) oraz P₂(l).

Zad. 39. (,'zysty proces urodzin, w którym A”(0) = /, a A_n = (/ + ;/)o, nazywa się procesem Aule*a. Obliczyć P_n(t). przyjmując / = 1.

Zad. 40. Obliczyć wartość oczekiwaną procesu Yule a z poprzedniego zadania. Obliczyć wariancję tego procesu. Jak wygląda rozwiązanie, gdy weźmiemy dowolne i w warunku A'(0) = i?