00098517

/. PUNKCIE ZMIENNEJ ZESPOLONEJ

13. SZEREG TAYLORA

Tw. (o rozwinięciu funkcji holomorficznej w szereg potęgowy). , Jettk funkcja /}r) jest holomorficzna w obszarze D. lo można ją rozwinąć wokół katdegój punktu z₀e D w szereg potęgowy

Ę«.(‘ =ir    "“J*;

o współczynnikach

n!

przy czym promień zbieżności R tego szeregu jest nie mniejszy nil d = inf |z—z„|

gdzie T oznacza brzeg obszaru D.

Zauwalmy nasępnie, ż*

C-z i-it-is-zt) t-*« .

C-*»

y czym dla każdego Ce KUo; C) tońmy oczywtfd* lC-z*l — C- Ponieważ !*-*»(.< {-Ii

no no ^Cl & «-****

Stąd

(x-xoy

(DI.146)

Ustalmy w myśli z. Po prawej stronie otrzymanej równości znajduje nę szereg funkcyjny, przy czym C a ff(r₀; p) jesl zmienną. Szereg ten jest jednostajnie zbieżny na okręgu K. Istotnie, dla każdego Ce gi dla każdego naturalnego nmamy

[    /(O

I (C-Zo)»+

_r (*-*■)■

przy czym

M = sup 1/101

więc wystarczy si* tu powołać na kryterium Wcientrassa. Ponadto, każdy wyraz szeregu (10.146) jest funkcją ciągłą na okrągu *. a wiąc ten szereg można całkować po okręgu K wyroś po wyrazie (por. zad. 5, p. 10). Mamy zatem

mdi

i-z

2nj

nodc \

(f ^—Xo)*⁺¹ )

tfet

biorąc zaś pod uwagą wzór całkowy (01.139) na pochodną/t*^>(z«) i uwzględniając równość (Ul.145). otrzymamy ostatecznie

/M =    (OL147)

Zgodnie z równościami (01.143) i (10.144). Ponieważ dla każdego promieni* PS (O.rf) szereg (01.147) jest zbieżny w kole |z-*»| < ?, więc promień zbieżności R tego szeregu spełnia warunek R> d, cud.

Funkcja holomorficzna w obszarze jest więc analityczna w tym obszarze (por. uwaga 2 str. 272).    . .

Szereg pó prawej gtroiue równości (111.147) nazywamy szeregiem Taylora funkcji J{z). Jeżeli funkcja f(z) jest holomorficzna na całej płaszczyźnie otwartej, to promień zbieżności jej szeregu Taylora jest nieskończony, zaś funkcja^z) — będąc sumą tego szeregu — jest funkcją całkowitą.

Można wykazać, że-rozwinięcie funkcji holomorficznej w szereg potęgowy jest jednoznaczne, tzn. jeżeli dla każdego z spełniającego warunek |z-r₀| < Q mamy to dla każdego n mamy a. b.. Fakt ten ma dożę znaczenie praktyczne, gdyż pozwala na znajdowanie rozwinięcia (111.147) tą metodą, która w danym zadaniu jest najdogodniejsza.

Przykład. Rozwinąć w szereg Taylora (10.147) funkcje

:    (01.148)

przyjmując kolejno *« ■= O, — 1 oraz/.