0020

21

§ 3. Działania arytmetyczne na liczbach rzeczywistych

Dla przykładu udowodnimy ostatnią własność. Jeżeli liczby wymierne a, a', b, b' są takie, że

a«x<a',    b<0<b',

to oczywiście

a+b<a<a<a’<a' + b'.

Tak więc, a jest liczbą rzeczywistą zawartą pomiędzy liczbami postaci a+b i a’+b', a pomiędzy tymi liczbami zawiera się z definicji również suma a+0. Ale liczba taka może być tylko jedna; dlatego a+0=a, o co chodziło.

Udowodnimy teraz następującą własność:

II. 4° Dla każdej liczby rzeczywistej a istnieje (przeciwna do niej) liczba — a, spełniająca warunek a+(- a)=0.

Wystarcza przy tym ograniczyć się do przypadku liczby niewymiernej a.

Zakładając, że liczba a jest określona przekrojem A\A', definiujemy liczbę —a w następujący sposób. Do dolnej klasy A liczby —a zaliczamy wszystkie liczby wymierne —a', gdzie a’ jest dowolną liczbą z klasy A’, a do górnej klasy A’ liczby — a zaliczamy wszystkie liczby —a, gdzie a jest dowolną liczbą klasy A. Łatwo zauważyć, że utworzony podział jest przekrojem, a więc określa liczbę rzeczywistą (w tym przypadku — niewymierną). Liczbę tę oznaczymy przez -a. Wykażemy, że określona tak liczba spełnia wskazany powyżej warunek. Korzystając z samej definicji liczby -a widzimy, że suma a+(—a) jest jedyną liczbą rzeczywistą zawartą między liczbami postaci a—a’ i a'—a, gdzie a i a' są wymierne, oraz a<a<a'. Ale mamy oczywiście

a — a'<0<a' — a,

a więc również liczba 0 zawiera się pomiędzy właśnie wspomnianymi liczbami. Ze względu na jednoznaczność liczby, określonej tą własnością, mamy

«+( —a) = 0,

czego należało dowieść.

Przejdźmy do jeszcze jednej własności:

II. 5° z a>/? wynika a + y>/?+y.

Jeżeli a>/?, to pomiędzy te liczby można wstawić dwie liczby wymierne r_% \ r_2> ot>r₁>r₂>f}.

Na podstawie uwagi z ustępu 9 istnieją takie dwie liczby wymierne c i c', że

Wynika stąd, że i z definicji sumy jest

c<y<c' oraz c' — c<r₁ — r₂. r₁ + c>r₂ + c',

a + y>r_t+c, r₂ + ć >/3 + y.

Zestawiając te wszystkie nierówności otrzymujemy żądany wniosek.