0054

55

§ 2. Twierdzenia o granicach ułatwiające znajdowanie granic

skąd

°<7"^-1<-7^>

V"

co prowadzi do szukanego wyniku.

11) Teraz możemy ustalić również drugi interesujący wynik:

log_an

lim-=0    (a> 1).

n

Tutaj mamy do czynienia z wyrażeniem nieoznaczonym postaci oo/oo, bo jak łatwo pokazać, log* n-*

-* + oo.

Rzeczywiście, jeżeli wziąć dowolną liczbę £>0, to ponieważ a‘> 1, więc dla dostatecznie dużych n jest [26, Tl

Logarytmując tę nierówność przy podstawie a, otrzymujemy

log.n

-<£,

n

skąd wynika wskazane twierdzenie.

33. Twierdzenie Stolza i jego zastosowania. Dla określenia granicy wyrażeń nieoznaczonych xjy, postaci oo/oo często bywa użyteczne następujące twierdzenie, pochodzące od O. Stolza(‘):

Niech y„ -*■ + co, przy czym — choćby poczynając od pewnego miejsca — y_n rośnie wraz z n, tj: y„ _{+ 1}> >y.. Wówczas

hm —=lim-

y,-y,-i

jeśli tylko istnieje granica po prawej stronie (skończona lub nieskończona).

Przypuśćmy z początku, że granica ta równa się skończonej liczbie /:

. x_n jr„_i

hm-=/.

+»-+«-1

Wówczas dla danej liczby £>0 istnieje taki wskaźnik N, że dla n> N jest

-i

<i^e>

x_n-x_n

y*-yn-1

czyli

l--e<-<l+±e.

y*-y— i

Oznacza to, że przy dowolnym n>N wszystkie ułamki

Xn+i—Xn xm+i—Xn+i    x„-i—x„-2

yn+i-ys

ys+2—yn+i

y*-t-yn-2

X„-X„-₁

y*-y*-i

leżą pomiędzy tymi krańcami. Ponieważ mianowniki, ze względu na wzrost y„, są od pewnego n dodatnie, więc między tymi krańcami leży również ułamek

x„-x„

y„-yn' (') Przy szczególnym założeniu y„ = n spotykamy to twierdzenie jeszcze u A. L. Cauchy’ego.