0059

60

I. Teoria granic

Aby znaleźć tę granicę, przejdźmy do granicy w napisanej powyżej równości; ponieważ x_n+l z dokładnością do pierwszego wyrazu przyjmuje te same wartości i w tej samej kolejności co ciąg {*„}, więc ma tę samą granicę <2, i otrzymujemy

a=tj-0,

skąd n=0, i

c" _ lim — =0. n\

2)    Przyjmując znowu c>0 określamy teraz ciąg {*„} następująco:

X_t=-Jc,    *2=V^C + -«/^>    X₃=\jc + yJc + y/Ć’ ■■■

i ogólnie

x_n='\jc-Tyje +... + *JĆ .

pierwiastków

Tak więc x_n+l otrzymujemy z x_n według wzoru

x„_+i=_s/c+x„.

Jasne jest, że ciąg x„ monotonicznie rośnie. Jednocześnie jest to ciąg ograniczony z góry, np. przez liczbę \/c +1. Rzeczywiście Xi = \/c jest mniejsze niż ta liczba; jeśli przyjąć teraz, że dowolna wartość x„<y/ć + l, to i dla następnej wartości otrzymujemy

X. _{+ 1}<V^TV^ ^<-VC + 2 yjc + \=\]c + \.

Tak więc nasze twierdzenie o ograniczoności z góry ciągu {x„} sprawdza się metodą indukcji matematycznej.

Na podstawie twierdzenia o ciągu monotonicznym ciąg {*„} ma pewną granicę skończoną a. Aby ją określić przejdźmy do granicy w równości

xl+i=c+x„;

otrzymujemy zatem, że a spełnia równanie kwadratowe

a²=c+a.

Równanie to ma pierwiastki różnych znaków; ale interesująca nas granica a nie może być ujemna, a więc równa się pierwiastkowi dodatniemu

V4c+1+1 ^a~ ₂

3)    Obierając dowolne x₀, 0<x_o< 1, określmy ciąg {x„} rekurencyjnie

Xn + 1 ~r,(2 X_n') •

Zakładając, że 0 < x„ < 1, co jest spełnione dla n = 0, stwierdzimy, że

0<x„<x„ ₊ i <1.

Rzeczywiście, ponieważ 2—x„>l, więc x„ +,>; ale x„(2 —x„) = 1 — (1 — x„)², skąd x„₊,<1. Tak więc pokazaliśmy przez indukcję, że ciąg {x„} monotonicznie rośnie i jego wyrazy pozostają mniejsze od 1; wynika stąd, że rozważany ciąg ma skończoną granicę 0. Przechodząc do granicy w związku reku-rencyjnym, znajdujemy, że <2 = 1. Tak więc, lim x„ = 1.

Pozostawiamy czytelnikowi rozpoznanie, co zajdzie, jeżeli wziąć x₀ poza przedziałem (0,1).