0112

113

§ 2. Granica funkcji

Dostateczność może być ustalona przez rozważania analogiczne do rozważań w przypadku ciągu [39], Prościej jest jednakże, nie powtarzając tych rozumowań, po prostu sprowadzić zagadnienie do już rozpatrzonego przypadku. W tym celu skorzystamy z definicji granicy funkcji w języku ciągów [53],

Niech więc będzie spełniony warunek podany w twierdzeniu, i do danej dowolnie liczby e>0 wzięte będzie odpowiednie <5>0.

Jeżeli {x„} jest dowolnym ciągiem argumentów x z 3C, zbieżnym do a, to z definicji granicy ciągu istnieje taki wskaźnik N, że dla n>N jest: \x„ — a\<6. Weźmy wraz z n drugi wskaźnik ri>N, tak by było jednocześnie

|x„ — a|<<5 oraz |x„,— a]<<5.

Wówczas na podstawie wyboru liczby S jest

\f(x„)-f(x_n.)\<s.

Ta nierówność jest więc spełniona przy jedynym warunku, że obydwa wskaźniki n i ri są większe od N. Oznacza to, że dla ciągu /(x„) (n= 1,2, 3, ...) spełniony jest warunek z ustępu 39, a więc ciąg

f(Xi),f(x₂), ...,/(x„), ...

ma granicę skończoną.

Widzieliśmy w ustępie 53 (por. uwagę na końcu ustępu), że warunek ten już wystarcza, aby ostatnia granica była wspólna dla każdego ciągu x_n zbieżnego do a\ granica ta jest więc granicą funkcji, której istnienie należało wykazać. (Łatwo wyprowadzić dostateczność wskazanego warunku z twierdzenia Bolzano-Weierstrassa, podobnie jak w przypadku ciągu na końcu ustępu 41).

59. Granice górna i dolna funkcji. Nawet przy braku określonej granicy funkcji /(x), gdy x dąży do a, przy ciągu x„—>a granica

iim/(x„)

«“* 00

może istnieć; granicę tę nazywamy granicą częściową funkcji, albo punkiem skupienia zbioru wartości funkcji.    j

Na przykład dla funkcji sin x przy x-> ± oo (lub dla sin - przy x->0) te granice częściowe wypełniają cały przedział od —1 do 1.    ^x

Wśród granic częściowych funkcji istnieje zawsze granica największa i granica najmniejsza; oznaczamy je przez

lim /(x) i lim /(a )

i nazywamy górną i dolną granicą funkcji.

Równość górnej i dolnej granicy funkcji jest warunkiem koniecznym i dostatecznym dla istnienia określonej granicy junkcji w zwykłym sensie.

Ograniczamy się do sformułowania tego twierdzenia, nie przytaczając dowodu. Dowód może być przeprowadzony podobnie jak w ustępie 42.

8 G. M. Fichtenholz