0162

163

§ 1. Pochodna i jej obliczanie

ostatnią, trzeba przejść do granicy:

AW

c — lim c_śr= lim --—-. ae->o    o A6

Można więc powiedzieć, że pojemność cieplna ciała jest pochodną ilości ciepła względem temperatury.

Weźmy w końcu przykład z nauki o elektryczności. Ustalimy przy tym pojęcie natężenia prądu zmiennego w danej chwili.

Oznaczmy przez t czas (w sekundach), liczony od pewnej chwili początkowej, a przez Q - ilość elektryczności (w kulombach), która przepłynęła w ciągu tego czasu przez przekrój poprzeczny obwodu elektrycznego. Q jest oczywiście funkcją t: Q—f(t). Powtarzając poprzednie rozważania otrzymamy, że średnie natężenie prądu w okresie At będzie równe

/ J*

^śr At ’

a natężenie prądu w danej chwili wyrazi się jako granica

AQ

1= lim I_ir= lim —, jt->o ar->o At

tj. natężenie prądu jest pochodną ilości przepływającego ładunku względem czasu.

Wszystkie te zastosowania pochodnej (których liczbę łatwo byłoby powiększyć) z wystarczającą jasnością wykazują, że pojęcie pochodnej jest związane w sposób istotny z podstawowymi pojęciami rozmaitych dziedzin wiedzy.

Obliczanie pochodnych, badanie i wykorzystanie ich własności stanowi właśnie główny przedmiot rachunku różniczkowego.

Dla oznaczenia pochodnej używa się rozmaitych symboli:

dy dx	lub	df(x0) (^ł) dx	(G. W. Leibniz),
y'	lub	f'(x o)	(J. L. Lagrange),
Dy	lub	Df(x o)	(A. Cauchy).

Będziemy korzystali przeważnie z prostych oznaczeń Lagrange’a. Jeśli używamy oznaczeń funkcyjnych (patrz kolumna druga), to litera x₀ w nawiasach wskazuje tę wartość zmiennej niezależnej, przy której oblicza się pochodną. Zwrócimy wreszcie uwagę na to, że w wypadkach, gdy może wyniknąć wątpliwość, względem jakiej zmiennej obliczona jest pochodna (w porównaniu z którą ustalona jest „prędkość zmiany funkcji”), zmienną tę zaznacza się wskaźnikiem

y'x> fx(xo),D_xy,D_xf(x₀),

(‘) Tymczasem rozpatrujemy oznaczenia Leibniza jako symbole jednolite; zobaczymy dalej [104], że można rozpatrywać je również jako ułamki.

li*