0300

301

§ 1. Pojęcia podstawowe

Wówczas dla scharakteryzowania tych par (x, y), dla których określona jest funkcja, najprościej jest wskazać figurę na płaszczyźnie xy, którą wypełniają odpowiednie punkty.

Mówimy więc, że funkcje (a) są określone na całej płaszczyźnie, funkcje (b) — w kole, odpowiednio domkniętym (tzn. z włączeniem okręgu) i w otwartym (bez okręgu) (rys. 89); funkcja (c) jest określona w prostokącie (rys. 90); wreszcie funkcja (d) jest rozpatrywana w trójkącie otwartym (rys. 91), tzn. w trójkącie z wyłączonymi bokami.

Ta interpretacja geometryczna jest tak wygodna, że same pary liczb (x, y) nazywamy punktami, a zbiór takich punktów odpowiadający tym czy innym tworom geometrycznym nazywamy tak samo jak te twory. Tak więc zbiór punktów lub par (x,y), dla których spełnione są nierówności

a<x<b, c<y<d,

jest prostokątem, którego boki są równe b—a i d—c. Będziemy go oznaczali symbolem (a, b; c,d), podobnym do oznaczenia przedziału. Zbiór punktów, czyli par liczb (x, y) spełniających nierówność

(x — a)² + (y — P)² < r²

jest kołem o promieniu r i środku w punkcie (a, /?), itp.

Podobnie jak funkcję jednej zmiennej y=/(x) można było zilustrować geometrycznie wykresem [47], można też interpretować geometrycznie równanie z=/(x,y). Weźmy w przestrzeni układ współrzędnych prostokątnych x, y, z; przedstawmy na płaszczyźnie

xy obszar M zmienności zmiennych x i y, wreszcie w każdym punkcie M(x, y) tego obszaru wystawmy prostopadłą do płaszczyzny xy i odłóżmy na niej wartość z=/(x, y). Miejsce geometryczne otrzymanych w ten sposób punktów będzie swego rodzaju wykresem przestrzennym naszej funkcji. Będzie to na ogół pewna powierzchnia. Z kolei równość z=/(x, y) nazywa się równaniem tej powierzchni.