033

33

2.1. Rozkłady i parametry zmiennych losowych

Zadanie 2.1.8.

Niezależne zmienne losowe X, i X₂ mają dystrybuantę

F(x) =

0	dla jc < — 1,
X 2 ^+1	dla —1 < x ^ 0,
1	dla x > 0.

Niech X = — 2X_x — 5X₂ + 10. Obliczyć EX oraz D²X.

Zadanie 2.1.9*.

Wybieramy losowo punkt z odcinka [0,1]. Znaleźć dystrybuantę i gęstość ilorazu krótszego odcinka przez dłuższy, powstałych przy tym podziale odcinka [0,1]. Obliczyć prawdopodobieństwo, że ten iloraz nie przekroczy 0.25.

Zadanie 2.1.10.

Zmienna losowa X ma dystrybuantę

0	dla x ^ 0,
X 2	dla 0 < x ^ 1,
.1	dla x > 1.

Niech Y = ln(X +1).

a)    Obliczyć EY bez wyznaczania rozkładu Y.

b)    Wyznaczyć dystrybuantę Y i przy jej pomocy obliczyć Ek.

Zadanie 2.1.11.

Na odcinku [0,/V + 1] umieszczamy losowo i niezależnie punkty a i b. Obliczyć prawdopodobieństwo, że |a — b\ ^ 1, jeśli N jest zmienną losową o rozkładzie zero-jedynkowym, gdzie Pr{N = 0) = Pr(iV = 1) = 0.5.

Zadanie 2.1.12.

Na odcinku [0,N] umieszczamy losowo i niezależnie punkty a i b. Obliczyć prawdopodobieństwo, że a² + b² ^ 1, jeśli N jest zmienną losową o rozkładzie takim, że Pr(N = 1) = Pt(N = 1.5) =0.5.

Zadanie 2.1.13*.

Niech Pr(X = k/n) = 1 /{n — 1) dla k = l,...,n— 1. Na odcinku [0,X] umieszczamy losowo liczbę a, a na odcinku [X, 1] liczbę b. Obliczyć Pr(X = 3/«), gdy wiadomo, że a < 2/n oraz b > 6/n.