0371

372

V. Funkcje wielu zmiennych

Widać stąd od razu, że jedynym punktem stacjonarnym jest początek układu (0, 0). Obliczając a,,, a 12 i <*22 otrzymujemy

1    1

<*11——, <*12=0, <*22=- ,

p    g

skąd <*n<*22— <*i2>0. Zatem w punkcie (0, 0) funkcja z ma minimum; widać to zresztą bezpośrednio.

Przedstawieniem geometrycznym tej funkcji jest paraboloida eliptyczna z wierzchołkiem w początku układu (patrz rys. 93 na str. 302).

x² y²

Przykład 2. z=—---(p> 0, g>0);

2P 2 q

, ^x , y

Zx—— ,    *y=---

P    Q

I tutaj widać, że punktem stacjonarnym jest (0,0). Obliczamy

1

<*2 2 =-->

g

1

<*11--, <*12—0 ,

P

skąd <*,i<*22— <*?2<0. A więc funkcja nie ma ekstremum.

Geometrycznie rzecz biorąc równanie to określa paraboloidę hiperboliczną, której wierzchołek jest w początku układu.

Przykład 3. z=y²+x⁴ oraz z-y²+x³.

W obu przypadkach punktem stacjonarnym jest punkt (0,0) i w tym punkcie <*n<*22—<*12=0. Kryterium nasze nie daje tutaj odpowiedzi, ale widać bezpośrednio, że w pierwszym przypadku w punkcie tym jest minimum, a w drugim ekstremum w ogóle nie ma.

Uwaga. Rezultaty tego ustępu okażą się później [236] ściśle związane z geometrycznym zagadnieniem zachowania się krzywej w pobliżu jej punktu osobliwego.

198. Warunki dostateczne (przypadek ogólny). Wróćmy do rozpatrywania przypadku ogólnego. Niech funkcja f(x₂, x₂, ..., x„) będzie określona i ciągła i niech ma ciągłe pochodne pierwszego i drugiego rzędu w pewnym otoczeniu punktu stacjonarnego (z?, x°₂,...,x°_n).

Rozwijając różnicę

A =f(x j , x₂,..., x„) -/(x?, x°, ■ ■ •, x°„)

według wzoru Taylora otrzymujemy tak jak poprzednio

A-i {/*i Ax\ +f_x 2 Ax 2 +... +f_xzAx²n + 2f”_iX

+2/':

Ax₂Ax₂ + 2f”x₃ Ax₂Ax₃ +...+

n

-iXn^^n-i ^^xn\ ⁼i X. f XiXi/^^xi^^xk’

i,k = 1

tutaj Ax_i=x_i—a wszystkie pochodne są obliczone w pewnym punkcie (xi + dAxi ,x₂ + 9Ax₂ , ...,x⁰n + 9Ax_n)    (0<9< 1).

Wprowadźmy i tu wartości pochodnych w punkcie (x?, x°₂, ..., x°):

(6)

(i,/c = 1,2, ...,n).

.....^x°) = a_lk