0415

416

VI. Wyznaczniki funkcyjne i ich zastosowania

jak wyżej w równości (6). Wyznacznik (3) w tym punkcie jest z założenia różny od zera, zatem dx_n+t, dx_n+2, ...,dx„_+m można z równań (8) wyrazić liniowo przez dx_x, dx₂, ..., dx_n. Jeżeli otrzymane w ten sposób wyrażenia podstawimy do równania (6), to otrzymamy równanie mające postać

A₁dx_l+A₂dx₂ + ...+A_ndx„ = 0,

gdzie A,, A₂, ■■■, A_n oznaczają wyrażenia wymierne względem pochodnych cząstkowych funkcji 0j wziętych w punkcie M₀. Ponieważ w otrzymanej równości występują tylko różniczki dx^, dx₂, ..., dx_n zmiennych niezależnych, więc w punkcie M₀ musi być

A₁=0 , A₂ = 0 ,    ... ,    A_n = 0 .

Równania te łącznie z równaniami (1) stanowiącymi warunki dodatkowe tworzą układ n+m równań dla wyznaczenia niewiadomych x_ltx₂, ..., x„_+m.

Otrzymaliśmy tutaj oczywiście tylko warunki konieczne istnienia punktu ekstremalnego M₀(x”, x^<2, ..., x°_+m). Tego rodzaju warunki mogą być jednak użyteczne nawet dla znajdowania największej lub najmniejszej wartości funkcji / przy warunkach (1), mianowicie w tych przypadkach, gdy z charakteru zagadnienia wynika, że wewnątrz rozpatrywanego obszaru musi istnieć punkt, w którym funkcja taką wartość osiąga, lub gdy istnienie takiego punktu przyjmiemy jako hipotezę, którą następnie po znalezieniu punktu należy potwierdzić dalszymi rozważaniami.

Przykłady podamy niżej, w ustępie 214.

212. Metoda czynników nieoznaczonych Lagrange’a. W przedstawionej wyżej metodzie zmienne nie są traktowane jednakowo, część z nich traktujemy jako zmienne zależne, część — jako niezależne, pewne różniczki rugujemy, inne pozostawiamy. Czasami powoduje to komplikacje w rachunkach. Lagrange podał metodę, przy której wszystkie zmienne odgrywają jednakowe role.

Pomnóżmy równania (8) odpowiednio przez dowolne na razie (nieoznaczone) czynniki 2, (/'= 1,2, ..., tri) i wyniki dodajmy stronami do równania (6). Otrzymamy równanie

(9)

ⁿ+^m(df    80,    80_m

j=i \<3x,. 8xj    ^m 8x_]j

dxj = 0,

w którym dx„₊₁, dx_n+2, ..., dx_n+m są różniczkami funkcji uwikłanych (4) (w rozumowaniach zachowujemy początkowo nierównouprawnienie zmiennych), a pochodne cząstkowe są obliczone w punkcie M₀.

Wybierzmy teraz wartości czynników    = A? (i = 1,2, ..., m) tak, aby były równe

zeru współczynniki przy różniczkach dx_n+1, dx„₊₂,..., dx_n+m zmiennych zależnych

df _n 50,    _n 50_m

(10)    /+!? —'+...+A°-^ = 0    0 = n + l,...,n + m).

ćXj    8xj    8xj

Można to zrobić, bo wyznacznik (3) układu równań liniowych, które się otrzymuje dla , 2°, ..., 2®, jest różny od zera. Dla tych wybranych wartości czynników równanie (9)