0434

435

§ 4. Zamiana zmiennych

występujących we wzorach (8) i nie zależą w ogóle od z. Dzięki temu możemy stosować wzory (10) nie tylko do funkcji z lecz także do jej pochodnych dzjdx, dzidy. Na przykład pisząc we wzorach (10) zamiast z pochodną dzjdx otrzymujemy dla d²z/ dx² wyrażenie

B² z

a*⁵

dx\dx) 3t \BxJ du\dx)

/	d^2z o^1 z dA dz	BB	dz'	\
A (A	“-r-+i?--h— * —	+ -—		+
\	dt^2 dtdu dt dt	dt	dUj	/
(	d^2z d^2z BA	dz	dB	dz
+B\	A--\-B ——5- H--•	--h		—
\	dtdu du^2 du	dt	Bu	du

Stosując wzory (10) do pochodnych rzędu drugiego funkcji z, znajdujemy wyrażenia dla pochodnych rzędu trzeciego itp.

Jeżeli wzory na zamianę zmiennych są rozwiązane względem nowych zmiennych

t=<x(x,y), u—li(x, y),

to wygodniej jest stosować odwrotną metodę, to znaczy traktować z jako funkcję złożoną zmiennych x i y za. pośrednictwem t i u i różniczkować ją względem starych zmiennych. Prowadzi to od razu do wzorów typu (10):

OD

dz

dx

dt

~Bx

Teraz współczynniki

dz

di'

dt

'dic'

du dz dx du’

du Bx ’

dz

dy

C=-

dt

0y

dt

dy '

dz du dz dt dy du

D=-

du

dy

są funkcjami x i y, ale także nie zależą od z.

Stosując powtórnie wzory (11) można podobnie jak przedtem obliczać dalsze pochodne. Na przykład

■ d l dz    dz\

dx-

— (A — + B —1 = dx \ dt    duj

dA	Bz BB	dz	3	(Bz\ dl	Bz\
—--•	‘ ——h ~— ^1	■ —+A		—l+s— j	— ) =
dx	dt dx	ou	dx	V dt J dx \	.<>x)
dA	dz BB	dz	l	d^2z B*z)	i / 3^2z d^2 z'
=--•	■ --4—•	— + A	\A		\+B\A --+^ —
dx	dt Bx	du	l	dt^2 dtdu)	' \ dtdu du^2,

Wreszcie w ogólnym przypadku, dla dowolnych wzorów na zamianę zmiennych (12)    0(x,y,t,u)= 0,    W(x, y,t, u) = 0,

można posługiwać się zarówno metodą odwrotną, jak i metodą wprost, obliczając pochodne cząstkowe

dx dx dy dy    dt dt Bu du

dt ’ du’ dl ’ du’    dx ’ dy’ dx’ dy

według reguł różniczkowania funkcji uwikłanych.

(‘) Należy tutaj zrobić uwagę analogiczną do uwagi na str. 429. Ponieważ wyrażenia otrzymane dla starych pochodnych zawierają oprócz nowych pochodnych także x i y, więc po podstawieniu tych wyrażeń do W może się okazać konieczne wyrugowanie x i y za pomocą wzorów na zamianę zmiennych. Czytelnik łatwo dostrzeże podobne sytuacje w dalszym wykładzie.

28*