0476

477

§ 2. Prosta styczna i płaszczyzna styczna

Jeżeli wyobrazimy sobie, że linia śrubowa jest nawinięta na walec kołowy, to możemy wówczas

powiedzieć, że przecina ona wszystkie tworzące tego walca pod stałym kątem (’)•

2 2 2 x    y    z

2)    Elipsoida —j -!—i H—j = 1 .

a    b    c

Równanie płaszczyzny stycznej otrzymujemy ze wzoru (12) uwzględniając przy przekształcaniu równanie samej powierzchni

xX yY zZ

72-+T2 + Ti ⁼¹ • a b c

2 2 2 x    y    z

3) Stożek (drugiego stopnia) — +    —^=0.

a    b    c

Płaszczyzna styczna ma równanie

xX yY zZ

-2- + T2--T2-=°-a b c

W wierzchołku (0, 0, 0) stożka, który jest punktem osobliwym, równanie to traci sens i płaszczyzny stycznej nie ma.

4)    Krzywa Vivianiego (rys. 127 na str. 464):

x² + y² + z² = R² ,    x²+y² = Rx.

Styczna jest określona równaniami (patrz (13)):

xX+yY+zZ=R² , (2x-R)X+2yY=Rx .

Równania te nie określają prostej jedynie w punkcie osobliwym (R, 0, 0).

5)    Powierzchnia śrubowa x=u cos v, y = u sin u, z=cv.

Zgodnie ze wzorem (16) równaniem płaszczyzny stycznej jest

X~x	Y-y
cos u	sine
— u siny	uco$v

Z-z

0

=0.

Korzystając z równania powierzchni równanie to można napisać prościej

sini>- costr PH— • Z=uv .

c

236. Punkty osobliwe krzywej płaskiej. Zajmiemy się teraz szczegółowym badaniem zachowania się krzywej danej równaniem uwikłanym

F(x,y)=0

w pobliżu jej punktu osobliwego (x₀, y₀). Celem naszym nie jest wyczerpanie tego zagadnienia, chcemy tylko zapoznać czytelnika z zasadniczymi rodzajami punktów osobliwych. Będziemy przy tym zakładali, że funkcja F jest ciągła i ma ciągłe pochodne pierwszego i drugiego rzędu. Nie zmniejszając ogólności rozumowania przyjmiemy ponadto, że x_o=0 i ^0=0. co oznacza po prostu przesunięcie początku układu współrzędnych do badanego

(‘) Jeżeli się ten walec rozetnie wzdłuż tworzącej i rozwinie na płaszczyznę, to linia śrubowa przejdzie w prostą, która naturalnie przecina wszystkie tworzące rozwiniętego walca pod tym samym kątem. Otrzymany wynik staje się teraz oczywisty.