096

96

6. Testowanie hipotez

8 wyników, to taką klasę należy połączyć z sąsiednią. Obszar krytyczny jest prawostronny w postaci (^,^o°), a więc hipoteza zerowa zostanie odrzucona na poziomie istotności a, gdy %^_)bs > Xa> a ;q_m. jest wyznaczone ze wzoru (6.2.1). Wartość Xa odczytuje się z tablic dla r — k — 1 stopni swobody, tak aby Pr(;^ >

xl) = a-

Test zgodności Kołrnogorowa

Drugim omawianym tutaj testem zgodności jest test Kołrnogorowa. W porównaniu z testem Pearsona ma on liczne ograniczenia. Wymaga on wyników dokładnych, które nie są pogrupowane w klasy oraz dużej próby. Można nim sprawdzać tylko hipotezy dotyczące rozkładów ciągłych, w których sprecyzowano wartości parametrów. Idea testu Kołrnogorowa polega na mierzeniu odchylenia dystrybuanty teoretycznej od empirycznej. Stawiamy hipotezę H_{) : F(x) — F₀(a), gdzie F₀(a) jest dystrybuantą typu ciągłego, z wszystkimi sprecyzowanymi parametrami. Niech F_n(x) będzie dystrybuantą empiryczną. Oznaczmy

A = yjn sup | F_n (a) — F (a) .

jcGR

Zwróćmy uwagę, że do wyznaczenia A z powyższego wzoru, musimy znać wartości wszystkich danych, tzn. dane nie mogą być łączone w klasy. Wartość tej statystyki łatwo jest obliczyć komputerowo, jeśli dane są posortowane rosnąco. Jest to istotne, bo test Kołrnogorowa wymaga próby o dużej liczno-ści (// > 100). Wynika to z faktu, że w teście tym wykorzystujemy rozkład graniczny tej statystyki. Dlatego próba musi być duża.

Twierdzenie 6.2.2.

Statystyka określona wzorem (6.2.2) ma w granicy przy założeniu prawdziwości hipotezy H₀ oraz dla n —> °° rozkład niezależny od postaci F{a).

Rozkład

Kołrnogorowa

Rozkład graniczny statystyki A określonej wzorem (6.2.2) nazywa się rozkładem Kołrnogorowa. Jest on stablicowany, przy czym najczęściej podaje się wartości A_a, przy których zachodzi równość Pr(A ^ A_a) — a. Dla najczęściej stosowanych wartości a mamy: A^ _{ — 1.224, A₀₀₅ — 1.358, A_00] = 1.627.

Obszar krytyczny tworzy przedział (A_a,oo). Hipotezę H₀ odrzucamy, gdy

Kbs ^>    *

6.2.2. Testy niezależności

Populację generalną badamy ze względu na dwie cechy X i Y. Testujemy hipotezę zerową H₀ : X i Y są niezależne, czyli H₀ : Pr(X < a, Y < y) — Pr(X < a) Pr(T < y) przeciwko hipotezie alternatywnej H_] : Pr(X < a, Y < y) ^ Pr(X < a) Pr(y < y).

Tablice

wielodzielcze

(6.2.2)

Oznaczmy przez n liczebność próby. Wartości cechy X dzielimy na r klas, a wartości cechy Y na s klas. W ten sposób wszystkie elementy z próby