070

70

5. Estymacja

więc szukamy EY, gdzie Y = max (Aj,... ,X_n). Cecha Aj ma gęstość

1 dla x S [a,a+ 1], 0 dla x £ [a,a + 1]

i dystrybuantę

F(x) =

0

x — a 1

dla x < a,

dla a < x a + 1,

dla x > a +1.

Stąd obliczamy gęstość zmiennej losowej Y, a następnie jej wartość oczekiwaną i wariancję. Gęstość

^^yl^lrVu

[0    dla y f [a,a-h lj.

Wartość oczekiwana Y

a+ \

E Y =

= [ yn(y - a)ⁿ~¹ dy = n f(t + a)tⁿ~^l dt = ^—+t J    J    n +1

skąd ET_n = a, a więc estymator jest nieobciążony.

Wariancja estymatora D²T_n = D²Y. Wystarczy więc obliczyć jeszcze tylko EY². a+l    1

E Y^l

I y²n(y-a)dy = n j (t + a)²tⁿ

dt =

-j- 2 a--—|- a .

n + 2 n+1

Stąd

D ^lT_n

n + 2 n +1

n+1

+ a

n + 2    (n+1)²

Zauważmy, że D²T_n —> 0 dla n —>    a więc estymator T_n jest zgodnym estymatorem

parametru a.

Przykład 5.1.3.

Cecha X populacji ma rozkład jednostajny w przedziale [a,a+ 1], gdzie a jest nieznane. Wykazać, że estymator

= max X, — 1

parametru a jest asymptotycznie nieobciążony, gdzie X_l,...,X_n jest próbą prostą z tej populacji.