11 (12)

70/

Biblioteczka Opracowań Matematycznych

u = x du = dx dx

dv = —— v = -clgx sin* x

= -xctgx+ ^ctgxdx = -xctgx+ Injsin x| + C

^Jsin* x

71/	f x cos .rc/x	U = A . cos dfr	ć/w =
	■* sin ^3 x	sm a*	^v= j	dv

= /

Pomocniczo, obliczamy:

rcos xdx _ sm x = t

r co;

J Si:

sin ' x cos xdx = dt

rdt    r -s j ^— 1

= I —t~ — / dr = —_r =--

V    ^J    Ir¹    2 si

sin ‘ x

_r    x 1 r dx    x 1    „

/ = - ■    ■ ,    + - j . ₂    = - ■    - -Ctgx + C

2 sin x 2 ^J sin x 2 sm x 2

72/

[arccos xdx =

u = arccos x du-

-dx

= x arccos x +

dv = dx

= x arccos x +

\-x² =r

= ,v arccos x

v = x rtdt

xdx

73/

Jarccos² xdx =

-2xdx = 2tdr

u = arccos x

- f— = jtarccosx--J\-x² +C ^J l

-dx

du =

dv = arccos xdx v = x arccos x - V 1-at ■xarccoxdx

=xarccoix-'J\-x^! arccosc- fdv+    - =xarccoSx-2'l\-x¹ arccosr-2x+C

74/    ^

i

. X

arcsin-

^dx =

« = arcsin^ du=-2

dx

2,1-

•J2-1

dv= r—-^= v= jdv=-2-j2-x

yl2-X

Pomocniczo obliczymy całkę:

= -2^2-x arcsin— + f , ~ ^X=dx ? J

Biblioteczka Opracowań Matematycznych

^J|4^    ^JV(2-xX2+x)

V“Tx

arcsin —

f ,-~-<ir = 4%/2 + x- 2V2-xarcsin —+ C

^J 2

75/

2+x=z*

dx=2zdz

= 4jok=4V2n + C

]    ,    , m=x    <*<=<&

xsinrcosrd!r=- 2xsinxcosr<&=- xsin2x<ft=- ,    . ~ , -cos2x

J    2^J    2^J    2“^v=sin2-^v“^x' ^v=—-—

+ — fcos2x<£r = -— cos2x + -sin 2x + C ^ ^J    4    8

-—cos2x+ 4

4 76/

4. Całki funkcji wymiernych

Jeżeli wyrażenie podcałkowe ma postać funkcji wymiernej to mamy do czynienia z całkowaniem funkcji wymiernej. W zależności od postaci tej funkcji możemy stosować różne metody całkowania. Mogą wystąpić zatem przypadki:

a/ ułamek podcałkowy jest właściwy (tzn. mianownik ma wyższy stopień niż licznik), wówczas rozkładamy mianownik na czynniki a cały ułamek rozkładamy na sumę ułamków prostych pierwszego lub drugiego rodzaju - metoda współczynników nieoznaczonych.

Funkcję wymiemąjednej zmiennej postaci:

-21-