082

82

5. Estymacja

Funkcja

wiarogodności

prawdopodobne. Dla znalezienia takiego estymatora konstruuje się funkcję wiarogodności L. Jest ona inna dla przypadku ciągłego, a inna dla dyskretnego.

Najpierw omówimy przypadek dyskretny. Niech rozkład zmiennej losowej dyskretnej X zależy od wektora parametrów 0 — (0,,..., 0_m) lub w szczególności od jednego parametru 0. Niech (x₁ ,x₂,... ,x_n) będzie zaobserwowaną wartością próby prostej ,X₂,... ,X_n) z populacji mającej cechę X. Funkcję wiarogodności określa się wzorem

MN W

Szukanie maksimum funkcji L

L(6) —L(x_vx₂,...,x_n-,6) = p(x_i\6)p(x₂,6)...p(x„-,6),    (5.1.2)

gdzie p{xf, 6) = Pr(X = x_t).

Dla cechy typu ciągłego o gęstości f(x, 9), funkcja wiarogodności określona jest wzorem

L(0) =L(x_vx₂,...,x_n\9) = f(x_l-,6)f(x₂,e)...f{x_n-,Q).    (5.1.3)

Estymatorem parametru 0 jest ta jego wartość, przy której funkcja wiarogodności osiąga wartość największą. Jest to estymator otrzymany metodą największej wiarogodności - MNW. Jeżeli funkcja L określona wzorami (5.1.2) lub (5.1.3) jest różniczkował na, jej maksimum można znaleźć, szukając miejsca zerowania się pochodnych cząstkowych 0L/00-, a gdy mamy tylko jeden parametr 0, to pochodnej dL/dO. Ze względu na to, że L jest iloczynem funkcji, to wygodniej jest badać pochodne nie funkcji wiarogodności L, a jej logarytmu lnL.

Przykład, Niech X ma rozkład Poissona (określony wzorem (2.3.5)) z parametrem X . Wtedy dla zaobserwowanych wartości próby prostej (k_{,k₂>... ,k_n)

nX X^k^^k^‘"^~^kfl

k_{\k₂l ...k_n\ ⁵

skąd

lnL(A) = — nX + (k_{ + k₂ H-----bk_n)\nX — ln(A:_l \k₂ \.. .k_n\).

Po obliczeniu pochodnej otrzymujemy równanie potrzebne do znalezienia maksimum

n +

k_x + k₂ H-----\-k_n

X

A    _

a więc X = X.