19 (74)

Dla funkcji klasy C², stosując wzór na drugą pochodną możemy sformułować warunek wystarczający istnienia ekstremum: Jeżeli w punkcie stacjonarnym (x₀,yo) mamy:F^(x₀,.y₀)^0

to funkcja uwikłana y(x) ma ekstremum lokalne w punkcie x₀, przy czym zachodzą następujące implikacje:

F«(x₀,y₀)

^Fy(^x0.y₀)

F^(x₀,y₀)

Fy(x₀,y₀)

>0

<0

y(x₀) = max y(x);

y(x₀) = miny(x).

u. id <3

c $    Ccc &jU    CC**?

Przykład 4.

Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji uwikłanej danej równaniem: (x²+y²)² - 4(x² - y²) = 0.

Fy-l^ y⁷f’2/

x^h    '/)-lx-

_xFf)⁷-

^Ll y (    y¹- X) -0    X ~0 i/ x'Z /- X

Y'- 0 ^0	£=>	y^7(y
x^7-< y^7-X	-Z Z	'Ti-
*-/T	>■ -df	-f y^='
/r	., ■? J	>
X	y * *

f- -0    z/^3 _x^/f

X / y Pj P?j    pX/£ . 5/X<c(. cp OM. a ^ p

■ € Ut. { uu.XO:_Ci*c^    + k y¹ - 9

n ^    r^^=u~irr^:I = &><?

¹    ^ o m ^f/    (r P’<

Fy(P,)^z    FyCd,o)-0 -

> -n L.

■zykład 5.

i / / Ą Q ,*t »f ,

^ęr>

Fyf_}) ~~^Hlf    x    <-

' ^}J    f ■ kU( fzlę

2 2

yznaczyć równanie stycznej w punkcie (xo,yo) do hiperboli o równaniu:    =

y-p--_rd<*-X    ,

^x    X /X 7, ‘A

r^lU^zt‘    :

_x o 4⁷

^0 /

Z /

d

XX,    ^ >/c

A

>0 ^Ł-Z k. Ct 14 >• Z"    /    ^u

S>X<

MAT2 Mechatronika Jan Nawrocki 19