2011 12 19#;03;2548

L[sm(wt)] —-L[e^atsin(u)t)] =

L[cos(ojt)} = -^ L[e^at cos{ut)) —

ii- + Łl,*2

U)

($—af+w²

&+ufl

s—a

(.$ — a)'+u/2

u;

L[$inh(vt)] = -L[CĆ>sfcM)]^: ^2_^2

i[l_e"Ś] =-i—

^ ^J (<m+1)² i _i ę_a-ę_b

^L a-6 ^J (a»+l)(i«H-l) _rra—t    ^s

^Li—^e *1=

<s2 — Ło'2

a

1

(as+lf

3. Metoda residuów

Załóżmy, że funkcja wymierna F(s) zadana jest w postaci ilorazu dwu wielomianów zmiennej zespolonej s, zgodnie ze wzorem:

F( a — _b,nS^m+bm-ll*^m-'+~+b]S+fo ^S ~ Af (,s“) ^— -sⁿ+«ićf+aa

Pierwiastki licznika funkcji transformaty są nazywane zerami, a pierwiastki mianownika biegunami. Zauważmy, że bieguny są utożsamione z pierwiastkami równania charakterystycznego występującego w metodzie klasycznej lub wartościami własnymi macierzy stanu A. W metodzie residuów korzysta się z następującego twierdzenia.

Twierdzenie

Jeżeli funkcja F(s) jest ilorazem dwu wielomianów L(s) i M(s), przy czym stopień wielomianu mianownika jest wyższy niż stopień wielomianu licznika (n>m), to oryginał funkcji f{t) określony jest wzorem

£^_1[F(s)] ~ £;‘₌1^res*=*i[F(s)e**]    (i)

Sumowanie odbywa się po wszystkich biegunach funkcji operatorowej F(s) niezależnie od tego, czy bieguny są pojedyncze czy wielokrotne.

Residuum funkcji res[o] wyznacza się korzystając ze wzorów wynikających z własności przekształcenia Laplace'a. W przypadku bieguna l-krotnego wzór jest następujący

(i—1)! *-**id&

re5s=#_t[F(3)e^]----—    ——^r

Szczególnie proste zależności otrzymuje się dla bieguna jednokrotnego Sj. W takim przypadku 1=1 i wzór na residuum ulega znacznemu uproszczeniu

res*=4F(s)e^] = lim [F(s){s -S/Je**]    (3)

Wzór wykorzystujący residuum funkcji można stosować dla dowolnych biegunów funkcji F(s), w tym biegunów rzeczywistych, zespolonych, jednokrotnych i wielokrotnych.