CCI00004

Zadania domowe dla I-roku WE-studia zaoczne 1. Obliczyć całki stosując metodę podstawiania

a)    b)    c) J

Vsi **

sin² x

g) f

arcsin x

VI

x

dx , h) J

.X

3

x

X 4* 1

dx, i) |

x⁶ + 4

dx

²    5sinx ,    . e    _ r

* •‘fen-• o J

<&,d) f-i

X 4- 2jc 4- 2

,j)f

3-2cosx

3x +1 x² + 4x + 7

arctgxdx x² +1

2xdx

x -6x + 12

dx ,6) [sin² xcos³ xdx, p) J sin³ xdx, r) jxe*²dx

1

5

Odp: a) 3Vsinx + C, b) -Vh7^ + C , c)—arctg ^:^— + C, d) — lnl3 - 2 cos xl + C

3

6

2

2

1 1 1    11

e) —arctg--t- C, f) —arctg²x + C , g) —arcsin³ x + C, h) —x³ + —x² + x + ln|x +1| + C,

!w ₄ ^    2    3    3    ^

i) arctg(x + 1) + C, j) -^-1n(x² + 4x + 7)- -JL    + C,

k) ln(x² - 6x +12) + 3    arctg-—- + m) - ln|cosx| + C, n) - -e-*²    +C,

3

i

i

i

1

o) —sin x - —sin x + C, p)—cos x - cosx + C , r) — e + C 3    5    3    2

2. Obliczyć całki stosując metodę całkowania przez części

a) | arccosxć/x, b) j"xarctgxdxdx , c) |x² ln(x + l)<ix: , d) f ln² xdx, e) j,

f) [x²sinxdx, g) [xln²x<ix,h) [-5—,1) [^fxarctg^Jxdx, j) fx²arctgxdx

ł. _____ ?    _• cos x    __ _

,    I—~T    1    2    1

Odp: a) x arccos x - V1 - x +C b) — (x +1 )arctgx -—x + C, c)

—(x² +l)ln(x + l)-—x³ + —x² - —x + C d) x(ln²x-21nx + 2) + C e)

3    9    6    3

1 1

f) 2xsinx + (2-x²)cosx + C,g) —x²ln²x + —x²+C, h)    ln

2

4

sinx

+ C,

2

1

i) —Jx* arctg Jx——x + — ln|l + x +C, j)—x³arcrgx-—x^z +— ln(l + x^) + C 3    3    3    3    6    6

3. Obliczyć całki z funkcji wymiernych (rozkład na ułamki proste)

xdx    ., r 2x + 4 .    .    2x² + 3

^a) J

_b)    , _c)\^-l^dx, d)f⁽f^ł3)A,

•’x³-2x²    xtx-ll³    'x²+2x + 2

(x + l)(x + 2)(x - 3) ^J x^J - 2x²    ' "^J x(x -1)

(x³ + 3x² + x + 9)dx - j* xⁱdx    rx²-4 ,    , r(x³ + x⁴ -8)tćc

(x² + l)(x² +3)    ’ ' * ~XZ    °    ^r

x -3x + 2

x³ - 4x

3

2

2 1

Odpowiedzi: a)-—ln|x + 2| + —ln|x + l| + —lnjx-3j + C , b) 2ln|x-2|-2ln|x| + — + C,

5

4

20

c)

-5 x — 1

+ 3 ln x - ln x -1 + C, d) arctg(x +1) + ln(x² + 2x + 2) +

e) 3arctgx + — ln(x² + 3) + C, f) — x² + 3x - ln|x —1| + 81n|x — 2| + C,

.2 ^

g) x² — x — 3 ln|x —1| + C₅ h) xh— 2 2

ln

x-1

X + 1

- arctgx + C