IMG'92

.•jUti&tOŁL—

■! różuy S|Kii.:ód /V użytkowników Ui,....U« żąda dostępu do jednego z AT zasobów iRj.....R*-,

kiói\ wybiera losowo i niezależnie od pozostałych użytkowników. W ten sposób przy zasobach tworzą się kolejki żądań dostępu.

a) .A = długość kolejki przy Ri wynosi /.

Wtbon poszczególnych użytkowników są niezależnymi doświadczeniami • scliciu.il Bcrnoullicgo. bj A - łączna długość tistalonych k kolejek (np. przy R».. .,Ri) wynosi /,

Tu i.ikżc sclicmal Bcrnoullicgo • jakie jest teraz prawdopodobieństwo sukcesu?.

c|,A = żadna kolejka nie pozostaje pusta,

l’(Aj*l-l^,(D,o...uBłt). gdzie B,=kolejku przy R, pozostaje pusta. Oczywiście B, nie są wzajemnie niezależne ani rozłączne - dlaczego? Skorzystaj z ogólnego wzoru na prawdopodobieństwa sumy zdarzeń (przypomnij ten nzor tila 2 zdarzeń), a stwierdzisz, że I'(A)“.V-'i +•%...♦(■ 1)*■?*•. gdzie y _i ^    j._{(ll u} j. Składniki tej sumy (ile leli jest?) są u nas jednakowe, każdy stanowi

prawdopodobieństwo. ze i ustalonych kolejek pozostaje pustych - patrz punkt b) przy /"O. Teraz zsumujmy 10 wszystko

f cl) A - dokładnie /// (dowolnych) kolejek pozostaje pustych,

Widać, ze 10 jesi uogólnienie punktu c) - lani i«“U. tj. interesowało nas prawdopodobieństwo zajścia

dokładnie (i spośrod zd B,.....B*-. lulaj dokładnie iii. W tej sytuacji przy da się nam izw. twierdzenie u

tfwhiiuirji zilnrzeii. Prawdopodobieństwu zajścia dokładnie iii sposrod dowolnych zd. Bi.....B*- wynosi

•^v«-( «.| ”V„.i ♦<    V“V. gdzie C_m^m icprczcniuje symbol Ncwiona. **‘Zauważ, że podane

twierdzenie uogólnia zarówno wzór /. punktu c). jak i sclicmal Bcrnoullicgo.

• dokładnie iii (dowolnych) kolejek ma długość I. (j. iii zasobów zostaje skonsumowanych bezkonfliktowo,

Podobna sytuacja jak w punkcie d). składnikami sum .V; są prawdopodobieństwa typu l‘(knżdn v.k minionych kolejek ma długość I). Oblicz je z klasycznej def prawdopodobieństwa: zd. elementarne “

ciąg |i|.. .i.\t numerów zasobów wybranych przez Ui.....Uv. Ile jesi możliwych takich ciągów? W takim

ciągu iiiiincry naszych k zasobów mus/ą wystąpić po I razie iui dowolnych k pozycjach, zaś na IKi/osiabdi iKizyejach mogą wystąpić tylko pozostałe numery z dowolną kroiuością.

/fVJrazdv użytkownik wybiera R| z prawdopodobieństwem /z; (yi|+...+/^-= l ). A = kolejki przy

mają długości odpowiednio    («c*...+«■* V).

iini

Mamy tu iiogólnicmc sclicmatu Bcrnoullicgo: wybory poszczególnych procesów są niezależnymi doswiadc/emaim u więcej niż dwóch możliwych rezultatach ze stalynti prawdopodobicustwcimi. sumującymi się do I ■ l/.w. rozkład »-ivloiniaiio\iy. Spróbuj uzasadnić (najpierw sprawdź dla A‘“2. polem przypouiuij sobie pcrniiiiucjc z powtórzeniami). *zc dla .V doświadczeń prawdopodobieństwo oir/.ymanin

n, rcznltaiow tvpu I.....ii,_ rezultatów tvpu K wy nosi

«/,) =

g, tu,

. ..

—;-;/'• •••/','

/ ■ ćwiczeniu

g) warunki jak w poprzednim punkcie. A - o m procesów więcej wybiera R.| nit R*.

Interesuje nus suma n_A<fli.....«zj po wszystkich układach />■_____dla których n_x~n_k»m Takie Cumowanie

byłoby na pewno uciążliwe. Ale zauważ (znowu sprawdzając najpierw dla A>2|. że i;\(U|.. .yi_K) jest

współczynnikiem pr/.y    w wielomianie AT Zimcnnycli ........(izw. funkcjo

nrorząca). Zróbmy irick: weźmy wielomian I zmiennej «\t.|.....Ijr'*) ^m(j'iX*rrj*. edzjc

r= fi+...+l>k-4. I'(A) jest teraz współczynnikiem przy... czyli w warunkach zadania...

JWybieram losowo liczby naturalne Ki L. A =* ułamek KIL 'jes\ nieskracalny

Nazwijmy "klasą i“ zbiór wszystkich wielokrotności liczby pierwszej i. A-A_;A*Av.. gdzie A,- k‘ i L mc należą jednocześnie do klasy i - co do I*(A,). por. Ćwicz. I. zad ba). Zauważ, że zd. A, są niezależne -wytłumacz tol • ■ • Wyrażenie, które otrzymasz, wygląda na "niepoliczalne" • w istocie wynosi ó/ir-0.6079.

■£.v>?ica£iiin^,Iin.P.tt«^,vv.dopodobicnstAva^>.wnrAinkowc:rcalko\vite.-

1.    Element E| połączony jest szeregowo z równoległym połączeniem elementów E; i Ej. Uszkodzenia elementów są wzajemnie niezależne i mają prawdopodobieństwa odpowiednio //i“1/2,/j>=1/3 i/iy*l/5. Z jakim prawdopodobieństwem element E, jest uszkodzony, jeżeli nastąpiło przerwanie obwodu?

Niech A,*?uszkodżciiic £,. U "prze rwanie obwodu. Interesuje nas prawdopodobieństwo warunkowe. . Ogólnie. I*(A|D)^B1*(0|A)I*(A)/1*(B) - wyjaśnij. Tutaj A“.... B³...; I’(B|A) wynika /c struktury obwodu.

2.    Tramwaj może wypaść z rozkładu jazdy z prawdopodobieństwem \-p, w przeciwnym razie przyjeżdża w losowej chwili przedziału <0..7>. Oceń szanse, ze jeszcze przyjedzie, skoro me przyjechał do chwili t (ij. pokaż, jak spada nasz optymizm w miarę czekania).

Niech A... p.³ tramwaj prĄjculń w pndprzcdziatc    (znlciu mc wypada z. rozkładu jazdy ).

I’IA.« p.) jest łatwo zjtnlc/ć... W terminach rodziny zd. A,„ p. interesuje nas prawdopodobieństwo warunkowe... Oblicz, jc z definicji i przedstaw w zależności od \H |ir/y ró/uych /•

3.    W urnie znajduje się I kula biała i I czarna. Wyciągamy losowo I kulę: gdy jest u» kula czarna, kończymy zabawę, w przeciwnym razie zwracamy wyciągniętą kulę. dokładamy jeszcze I kulę białą i kontynuujemy zabawę. Oblicz prawdopodobieństwo, ze w urnie mc zgromadzi się więcej ntz A' kul białych.

Oznaczmy interesujące nas /darzenie przez B. Zatem jego dopełnienie B'“przy A* ftińKeh l.ukich jcs/c/c nie koniec zabawy. B‘**A|...A_a\ gdzie A ,«w i-tym losowaniu wyciągamy białą kulę. Oblicz l‘tB‘) stosując schemat 'drzewka*, jeśli się kiedyś przyzwyczaiłeś (wyjaśnij tylko. dlaczego lulaj |iasijc). bądź wielokrotnie siosując dcf. prawdO|K>dobicusiwa \yairlinkowego.

Di